Help Residui...
Salve a tutti....
ho dei dubbi inerenti alla seguente funzione:
f(z)= $z^2 cosz/ (z-pi/2)^2 * (z^2+3) log(1+z)$
Calcolare il residuo della funzione in z= $pi/2$
I miei dubbi sono: dovrei eseguire delle sostituzioni (nel log o nel cos ) per semplificare il calcolo dei residui, oppure no? e se no come eseguo il calcolo?
Ringrazio anticipatamente... saluti...[/code]
ho dei dubbi inerenti alla seguente funzione:
f(z)= $z^2 cosz/ (z-pi/2)^2 * (z^2+3) log(1+z)$
Calcolare il residuo della funzione in z= $pi/2$
I miei dubbi sono: dovrei eseguire delle sostituzioni (nel log o nel cos ) per semplificare il calcolo dei residui, oppure no? e se no come eseguo il calcolo?
Ringrazio anticipatamente... saluti...[/code]
Risposte
scusate ho scritto male la funzione 
ERRATA CORRIGE: f(z)= $z^2cosz / (z-pi/2)^2 (z^2+3) log(1+z) $
saluti...
ERRATA CORRIGE: f(z)= $z^2cosz / (z-pi/2)^2 (z^2+3) log(1+z) $
saluti...
niente non la so scrivere 
scusatemi
il $(z^2+3)$ e il log è tutto al denominatore.... pardon di nuovo...
scusatemiil $(z^2+3)$ e il log è tutto al denominatore.... pardon di nuovo...
secondo me devi sviluppare il cos ed il log in serie di potenze, od in alternativa dei prendere il coefficiente della serie Luorant responsabile dei residui....Se non sbaglio è il c_(-1)
secondo me devi sviluppare il cos ed il log in serie di potenze, od in alternativa dei prendere il coefficiente della serie Luorant responsabile dei residui....Se non sbaglio è il c_(-1)
$f(z) = z^2 (cos(z))/((z-pi/2)^2 (z^2 + 3)log(1 + z))$
$Res_(z= pi/2) f(z) = lim_(z to pi/2) (d)/(dz) ((z-pi/2)^2f(z)) = lim_(z to pi/2) (d)/(dz) ((z^2cos(z))/((z^2 + 3)log(1+z)))$
E qui è solo questione di calcoli...
In alternativa potresti tentare di sviluppare la funzione in serie di Laurent, ma la vedo abbastanza dura...
$Res_(z= pi/2) f(z) = lim_(z to pi/2) (d)/(dz) ((z-pi/2)^2f(z)) = lim_(z to pi/2) (d)/(dz) ((z^2cos(z))/((z^2 + 3)log(1+z)))$
E qui è solo questione di calcoli...
In alternativa potresti tentare di sviluppare la funzione in serie di Laurent, ma la vedo abbastanza dura...
Per pat87.....
Premetto che all'esame anche io ho fatto come mi hai appena suggerito, però l'assistente del prof quando sono andato a vedere il compito ( che è andato male ) mi ha detto che non si deve fare la derivata in quanto $z= pi/2$ non è un polo doppio ma una singolarità eliminabile ( il $cosz$ si annulla proprio in $pi/2$ ).
Però non so come andare avanti...
[/quote]
Premetto che all'esame anche io ho fatto come mi hai appena suggerito, però l'assistente del prof quando sono andato a vedere il compito ( che è andato male ) mi ha detto che non si deve fare la derivata in quanto $z= pi/2$ non è un polo doppio ma una singolarità eliminabile ( il $cosz$ si annulla proprio in $pi/2$ ).
Però non so come andare avanti...
[/quote]
Prima di tutto puoi verificare se la singolarità isolata $pi/2$ è un polo o meno calcolando il limite
$lim_(z to pi/2) f(z)$
Se tale limite esiste finito, allora $pi/2$ è singolarità eliminabile; se invece $f$ diverge in $pi/2$ allora si tratta di un polo; se il limite in questione non esiste, allora si è in presenza di una singolarità essenziale.
Se riesci subito a capire che si tratta di una singolarità eliminabile, puoi concludere che il residuo è nullo senza svolgere conti ulteriori.
$lim_(z to pi/2) f(z)$
Se tale limite esiste finito, allora $pi/2$ è singolarità eliminabile; se invece $f$ diverge in $pi/2$ allora si tratta di un polo; se il limite in questione non esiste, allora si è in presenza di una singolarità essenziale.
Se riesci subito a capire che si tratta di una singolarità eliminabile, puoi concludere che il residuo è nullo senza svolgere conti ulteriori.
salve a tutti. ho qualche problema a capire come si determina il segno della funzione integrale..qualcuno saprebbe darmi qualche indicazione???
martedì ho esami...
martedì ho esami...
Ups scusa non me n'ero accorto 
Però no, non è nemmeno una singolarità eliminabile. è un polo di primo ordine!
Infatti:
$lim_(z to pi/2) (z-pi/2)*f(z) = lim_(z to pi/2) (z^2)/((z^2 + 3)log(1+z)) lim_(z to pi/2) (cos(z))/(z-pi/2) = lim_(z to pi/2) (z^2)/((z^2 + 3)log(1+z)) (-1) = -(pi/2)^2/(((pi/2)^2 + 3) log(1 + pi/2))$
Ed il limite in questione è proprio il residuo di f.
Però no, non è nemmeno una singolarità eliminabile. è un polo di primo ordine!
Infatti:
$lim_(z to pi/2) (z-pi/2)*f(z) = lim_(z to pi/2) (z^2)/((z^2 + 3)log(1+z)) lim_(z to pi/2) (cos(z))/(z-pi/2) = lim_(z to pi/2) (z^2)/((z^2 + 3)log(1+z)) (-1) = -(pi/2)^2/(((pi/2)^2 + 3) log(1 + pi/2))$
Ed il limite in questione è proprio il residuo di f.
ti ringrazio pat87.... c stavo arrivando anche io... però non eseguivo il $lim_(z to pi/2) (cos(z))/(z-pi/2))$, eliminavo tutto hiihihi.
Ringrazio comunque tutti per il gentile aiuto.... saluti...
Ringrazio comunque tutti per il gentile aiuto.... saluti...
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