Help radici n-esime di un numero complesso forma trigonometr
Ciao a tutti!, e da stamattina che non riesco a risolvere un esercizio.
L'esercizio richiede di risolvere Z^4=1 in C
E mi da come risultato Z_1=1; Z_2=i; Z_3=-1; Z_4=-i
Io ho provato a risolvere l'esercizio come riportato nel libro, sapendo che \(\displaystyle \rho^4=1 \) e con la formula generale
\(\displaystyle 4\theta = \pi +2k\pi , K=0,1,2,3. \)
quindi per trovare il primo angolo ho fatto
\(\displaystyle 0\theta = \pi +2* 0 \pi = \pi \)
il secondo
\(\displaystyle 1\theta = \pi +2* 1 \pi = 3\pi \)
il terzo
\(\displaystyle 2\theta = \pi +2* 2 \pi = 5\pi \)
e l'ultimo
\(\displaystyle 3\theta = \pi +2* 3 \pi = 7\pi \)
però non trovo la soluzione qualcuno mi aiuterebbe a capire dove sbaglio.
L'esercizio richiede di risolvere Z^4=1 in C
E mi da come risultato Z_1=1; Z_2=i; Z_3=-1; Z_4=-i
Io ho provato a risolvere l'esercizio come riportato nel libro, sapendo che \(\displaystyle \rho^4=1 \) e con la formula generale
\(\displaystyle 4\theta = \pi +2k\pi , K=0,1,2,3. \)
quindi per trovare il primo angolo ho fatto
\(\displaystyle 0\theta = \pi +2* 0 \pi = \pi \)
il secondo
\(\displaystyle 1\theta = \pi +2* 1 \pi = 3\pi \)
il terzo
\(\displaystyle 2\theta = \pi +2* 2 \pi = 5\pi \)
e l'ultimo
\(\displaystyle 3\theta = \pi +2* 3 \pi = 7\pi \)
però non trovo la soluzione qualcuno mi aiuterebbe a capire dove sbaglio.
Risposte
Allora sono molto ignorante su questi temi ma vorrei svolgere comunque un ragionamento, mi dirai se ti serve.
Allora se ho l'equazione $z^4=1$ vuol dire che sto cercando quei numeri complessi che elevati alla quarta diano come risultato 1. Posso cavarmela pensando: un numero reale è un numero complesso con la parte immaginaria uguale a 0, e subito mi trovo +1 e -1, dove si trovano nel piano dei complessi? Si trovano sull'asse orizzontale a distanza rispettivamente +1 e -1 dall'origine. Come faccio a descrivere i numeri complessi in forma trigonometrica? devo associare una grandezza, detta norma, che mi indica la distanza dall'origine e un angolo che mi dice come è inclinata la congiungente rispetto all'asse orizzontale, dico bene? (se ho toppato dimmelo!) Per quanto riguarda i nostri due numeri reali la norma dovrebbe essere 1, mentre l'angolo per +1 sarà 0, per -1, $pi$.
Passiamo alle soluzioni immaginarie, ricordando che $i^2=-1$ deduco che $i^4= i^2*i^2= -1*(-1)=+1$ Dopodichè penso $i^2= (-i)(-i)$ ma anche $i^2= i*i$ e trovo le due soluzioni immaginarie, anch'esse di norma 1 ma i rispettivi angoli (argomento?) saranno per i $pi/2$ e per -i $3/2pi$.
Ho sbagliato tutto? Non sono molto preparata, ho qualche ricordo dell'università e ho seguito qualche discussione su questo argomento qui sul forum.
Allora se ho l'equazione $z^4=1$ vuol dire che sto cercando quei numeri complessi che elevati alla quarta diano come risultato 1. Posso cavarmela pensando: un numero reale è un numero complesso con la parte immaginaria uguale a 0, e subito mi trovo +1 e -1, dove si trovano nel piano dei complessi? Si trovano sull'asse orizzontale a distanza rispettivamente +1 e -1 dall'origine. Come faccio a descrivere i numeri complessi in forma trigonometrica? devo associare una grandezza, detta norma, che mi indica la distanza dall'origine e un angolo che mi dice come è inclinata la congiungente rispetto all'asse orizzontale, dico bene? (se ho toppato dimmelo!) Per quanto riguarda i nostri due numeri reali la norma dovrebbe essere 1, mentre l'angolo per +1 sarà 0, per -1, $pi$.
Passiamo alle soluzioni immaginarie, ricordando che $i^2=-1$ deduco che $i^4= i^2*i^2= -1*(-1)=+1$ Dopodichè penso $i^2= (-i)(-i)$ ma anche $i^2= i*i$ e trovo le due soluzioni immaginarie, anch'esse di norma 1 ma i rispettivi angoli (argomento?) saranno per i $pi/2$ e per -i $3/2pi$.
Ho sbagliato tutto? Non sono molto preparata, ho qualche ricordo dell'università e ho seguito qualche discussione su questo argomento qui sul forum.
Scusami non riesco a seguirti, penso che il tuo ragionamento sia giusto, solo che non so se ho la fortuna ho la sfortuna di avere il libro di testo scritto dal mio docente.
Da quello che io leggo nel libro devo trovare n soluzione quanto è l'elevazione di z. quindi per z elevato 4 devo trovare 4 soluzione. con k che va da 0 a 3, se fosse stato per 5 avrei trovato le soluzioni che vanno da 0 a 4.
Ora vengo al mio problema io non capisco come il docente applichi la formula so che per z^4=4 le soluzioni sono z1=1+i; z2=1-i; z3=-1+i; z4=-1-i.
Però per z^4=1 le soluzione sono quelle di sopra.
Per risolvere z^4=4
\(\displaystyle \rho^4=4\)
\(\displaystyle \Theta4= \pi + 2 *K \pi \) , K=0,1,2,3.
usando la sostituzione ottengo
\(\displaystyle \rho= \sqrt{2}\)
\(\displaystyle \Theta= \pi +K * \pi/2 \) , K=0,1,2,3.
quindi per K=0
\(\displaystyle \pi/4 + 0* \pi/2 = \pi/4 \)
quindi per K=1
\(\displaystyle \pi/4 + 1* \pi/2 = 3\pi/4 \)
quindi per K=2
\(\displaystyle \pi/4 + 2* \pi/2 = 5\pi/4 \)
quindi per K=3
\(\displaystyle \pi/4 + 3* \pi/2 = 7\pi/4 \)
ok ora ho applico la seconda parte della formula quindi
\(\displaystyle \Theta0= \sqrt{2} {cos \pi/4+isen \pi/4 } ; \sqrt{2} ( \sqrt{2}/2 + \sqrt{2}/2 i) \); che risolvendo diventa Z0=1+i
\(\displaystyle \Theta1= \sqrt{2} (cos 3\pi/4+isen 3\pi/4) \); che quindi risolvendo diventa Z1=-1+i
\(\displaystyle \Theta2= \sqrt{2} (cos 5\pi/4+isen 5\pi/4) \); Z2=-1-i
\(\displaystyle \Theta3= \sqrt{2} (cos 7\pi/4+isen 7\pi/4) \); Z3=-1+i
Questa esercizio riesco a risolverlo, non capisco sinceramente come mai applicando la stessa formula all'altro esercizio i risultato non combaci.
Ho un serio dubbio sui passaggi da eseguire nel senso quando porto al denominatore il "4" quel quattro è dato dalla elevazione di ro o pure dal z^4= 4. qualcuno mi può aiutare ad esplicare questa formula.
Da quello che io leggo nel libro devo trovare n soluzione quanto è l'elevazione di z. quindi per z elevato 4 devo trovare 4 soluzione. con k che va da 0 a 3, se fosse stato per 5 avrei trovato le soluzioni che vanno da 0 a 4.
Ora vengo al mio problema io non capisco come il docente applichi la formula so che per z^4=4 le soluzioni sono z1=1+i; z2=1-i; z3=-1+i; z4=-1-i.
Però per z^4=1 le soluzione sono quelle di sopra.
Per risolvere z^4=4
\(\displaystyle \rho^4=4\)
\(\displaystyle \Theta4= \pi + 2 *K \pi \) , K=0,1,2,3.
usando la sostituzione ottengo
\(\displaystyle \rho= \sqrt{2}\)
\(\displaystyle \Theta= \pi +K * \pi/2 \) , K=0,1,2,3.
quindi per K=0
\(\displaystyle \pi/4 + 0* \pi/2 = \pi/4 \)
quindi per K=1
\(\displaystyle \pi/4 + 1* \pi/2 = 3\pi/4 \)
quindi per K=2
\(\displaystyle \pi/4 + 2* \pi/2 = 5\pi/4 \)
quindi per K=3
\(\displaystyle \pi/4 + 3* \pi/2 = 7\pi/4 \)
ok ora ho applico la seconda parte della formula quindi
\(\displaystyle \Theta0= \sqrt{2} {cos \pi/4+isen \pi/4 } ; \sqrt{2} ( \sqrt{2}/2 + \sqrt{2}/2 i) \); che risolvendo diventa Z0=1+i
\(\displaystyle \Theta1= \sqrt{2} (cos 3\pi/4+isen 3\pi/4) \); che quindi risolvendo diventa Z1=-1+i
\(\displaystyle \Theta2= \sqrt{2} (cos 5\pi/4+isen 5\pi/4) \); Z2=-1-i
\(\displaystyle \Theta3= \sqrt{2} (cos 7\pi/4+isen 7\pi/4) \); Z3=-1+i
Questa esercizio riesco a risolverlo, non capisco sinceramente come mai applicando la stessa formula all'altro esercizio i risultato non combaci.
Ho un serio dubbio sui passaggi da eseguire nel senso quando porto al denominatore il "4" quel quattro è dato dalla elevazione di ro o pure dal z^4= 4. qualcuno mi può aiutare ad esplicare questa formula.
Sbagli anche nell'altro esercizio: [tex]z^{4}=4[/tex] NON ha le radici che hai scritto, lo verifichi facilmente elevandone una qualsiasi alla quarta potenza e trovi -4 anzichè 4.
Per risolvere il problema in forma generale devi scrivere sia l'incognita z sia il II membro in forma trigonometrica: [tex]z=\varrho (\cos\theta +i\sin\theta )[/tex], con la formula di DeMoivre scrivi [tex]z^{n}=\varrho^{n} (\cos n\theta +i\sin n\theta )[/tex], poi uguagli i moduli (e questo lo hai fatto), le parti reali e le parti immaginarie per trovare i possibili angoli; il secondo esempio che hai fatto diventa: [tex]z^{4}=4\Rightarrow \varrho^{4} (\cos 4\theta +i\sin 4\theta )=4(1+0i)\Rightarrow \varrho =\sqrt{2}, \cos4\theta =1 \wedge \sin4\theta =0[/tex] da cui: [tex]4\theta =0+2k\pi \Rightarrow \theta =\frac{2k\pi }{4}[/tex] che ammette le possibilità: [tex]\theta =0, \frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2}[/tex]. Vai a sostituire nella forma trigonometrica di z e trovi le soluzioni.
Per risolvere il problema in forma generale devi scrivere sia l'incognita z sia il II membro in forma trigonometrica: [tex]z=\varrho (\cos\theta +i\sin\theta )[/tex], con la formula di DeMoivre scrivi [tex]z^{n}=\varrho^{n} (\cos n\theta +i\sin n\theta )[/tex], poi uguagli i moduli (e questo lo hai fatto), le parti reali e le parti immaginarie per trovare i possibili angoli; il secondo esempio che hai fatto diventa: [tex]z^{4}=4\Rightarrow \varrho^{4} (\cos 4\theta +i\sin 4\theta )=4(1+0i)\Rightarrow \varrho =\sqrt{2}, \cos4\theta =1 \wedge \sin4\theta =0[/tex] da cui: [tex]4\theta =0+2k\pi \Rightarrow \theta =\frac{2k\pi }{4}[/tex] che ammette le possibilità: [tex]\theta =0, \frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2}[/tex]. Vai a sostituire nella forma trigonometrica di z e trovi le soluzioni.
Grazie per la risposta esaustiva.
Comunque nel secondo post risolvo l'esercizio (z^4=4) come c'è scritto nel libro, il risultato è quello del libro, io ho solo esplicitato i passaggi, ora se pure il libro è sbagliato sono a cavallo... scusa il sarcasmo.
Dopo nel caso posso fare due scansioni ora sono a lavoro.
Comunque nel secondo post risolvo l'esercizio (z^4=4) come c'è scritto nel libro, il risultato è quello del libro, io ho solo esplicitato i passaggi, ora se pure il libro è sbagliato sono a cavallo... scusa il sarcasmo.
Dopo nel caso posso fare due scansioni ora sono a lavoro.
Mi sa di sì, che c'è un errore nel libro, l'equazione z^4=4 ha radici + e - sqrt(2), + e - i*sqrt(2), probabilmente l'errore è che nel testo dell'equazione manca un segno "-" davanti al 4 a secondo membro. Prova a fare come ti ho detto nel caso che il II membro sia un numero non reale, per esempio : z^2=1-i, ciao
"Palliit":
Mi sa di sì, che c'è un errore nel libro, l'equazione z^4=4 ha radici + e - sqrt(2), + e - i*sqrt(2), probabilmente l'errore è che nel testo dell'equazione manca un segno "-" davanti al 4 a secondo membro. Prova a fare come ti ho detto nel caso che il II membro sia un numero non reale, per esempio : z^2=1-i, ciao
si scusa l'esercizio e z^4=-4 piccola svista... non linciarmi.
.Scusami ancora; comunque tornando al primo io ho \(\displaystyle z^4=1 \) questo significa che ho 4 soluzioni giusto?! che vanno per k che va da 0 a 3. non riesco a capire come applicare la formula nel senso io ho \(\displaystyle z^4=1 \) ma questo cosa significa di persè.?! e se avessi non sò \(\displaystyle 2z^4+1=0 \).. penso di non avere capito la teoria.
mamma mia che mattone.
La prima equazione io la risolverei più rapidamente così:
[tex]z^{4}-1=(z^{2}+1)(z^{2}-1)=0\Rightarrow z^{2}=-1\vee z^{2}=1\Rightarrow z=\pm i \vee z=\pm 1[/tex]
e in tutto sono quattro soluzioni. La teoria te l'ho spiegata in breve prima, se vuoi un esempio più generico ma con cui
si fanno facilmente i calcoli prendiamo questa equazione: [tex]z^{4}=-8+8i\sqrt{3}[/tex];
il numero a destra ha modulo [tex]\sqrt{64+64\cdot 3}=16[/tex] e quindi può scriversi così: [tex]-8+8i\sqrt{3}=16\left ( -\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2}\right )[/tex]; se metti l'incognita in forma trigonometrica: [tex]z=\varrho (\cos\theta +i\sin\theta )[/tex] l'equazione (usando De Moivre a primo membro)
diventa: [tex]\varrho^{4} (\cos4\theta +i\sin4\theta )=16\left ( -\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2}\right )[/tex] da cui ricavi per il modulo: [tex]\varrho =2[/tex] e per l'anomalia (l'angolo): [tex]\cos4\theta =-\frac{1}{2} \wedge \sin4\theta =\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] da cui: [tex]4\theta =\frac{2\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow \theta =\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}[/tex]; gli unici valori di [tex]k[/tex] compatibili col fatto che
l'anomalia dev'essere [tex]0\leq \theta <2\pi[/tex] sono [tex]k=0, k=1, k=2, k=3[/tex] a cui corrispondono rispettivamente
[tex]\theta =\frac{\pi }{6}, \theta =\frac{2\pi }{3}, \theta =\frac{7\pi }{6}, \theta =\frac{5\pi }{3}[/tex]; sostituendo in z trovi (non nello stesso ordine per comodità di scrittura):
[tex]z=\pm (\sqrt{3}+i), z=\pm (-1+i\sqrt{3})[/tex].
In ogni caso ti conviene rappresentare graficamente i numeri nel piano di Gauss, aiuta molto.
[tex]z^{4}-1=(z^{2}+1)(z^{2}-1)=0\Rightarrow z^{2}=-1\vee z^{2}=1\Rightarrow z=\pm i \vee z=\pm 1[/tex]
e in tutto sono quattro soluzioni. La teoria te l'ho spiegata in breve prima, se vuoi un esempio più generico ma con cui
si fanno facilmente i calcoli prendiamo questa equazione: [tex]z^{4}=-8+8i\sqrt{3}[/tex];
il numero a destra ha modulo [tex]\sqrt{64+64\cdot 3}=16[/tex] e quindi può scriversi così: [tex]-8+8i\sqrt{3}=16\left ( -\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2}\right )[/tex]; se metti l'incognita in forma trigonometrica: [tex]z=\varrho (\cos\theta +i\sin\theta )[/tex] l'equazione (usando De Moivre a primo membro)
diventa: [tex]\varrho^{4} (\cos4\theta +i\sin4\theta )=16\left ( -\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2}\right )[/tex] da cui ricavi per il modulo: [tex]\varrho =2[/tex] e per l'anomalia (l'angolo): [tex]\cos4\theta =-\frac{1}{2} \wedge \sin4\theta =\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] da cui: [tex]4\theta =\frac{2\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow \theta =\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2}[/tex]; gli unici valori di [tex]k[/tex] compatibili col fatto che
l'anomalia dev'essere [tex]0\leq \theta <2\pi[/tex] sono [tex]k=0, k=1, k=2, k=3[/tex] a cui corrispondono rispettivamente
[tex]\theta =\frac{\pi }{6}, \theta =\frac{2\pi }{3}, \theta =\frac{7\pi }{6}, \theta =\frac{5\pi }{3}[/tex]; sostituendo in z trovi (non nello stesso ordine per comodità di scrittura):
[tex]z=\pm (\sqrt{3}+i), z=\pm (-1+i\sqrt{3})[/tex].
In ogni caso ti conviene rappresentare graficamente i numeri nel piano di Gauss, aiuta molto.
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