HELP Problema di cauchy
ragazzi per favore mi aiutate a risolvere questo problema di cauchy mostrando anche i passaggi, grazie mille
$\{(y'=[((x+1)*y)/x]+x*(1-x) ), ( y(1)=e ) :}$
grazie anticipatamente
$\{(y'=[((x+1)*y)/x]+x*(1-x) ), ( y(1)=e ) :}$
grazie anticipatamente
Risposte
Il secondo membro dell'equazione è definito in $RR\setminus\{0\}$; visto che la condizione iniziale è assegnata nel punto d'ascissa $1>0$, devi restringere le tue considerazioni a $]0,+oo[$.
L'equazione omogenea associata è a variabili separabili e credo tu la sappia risolvere da solo: mi limito a segnalare che il suo integrale generale è $\bar(y)=c*xe^x$, con $c\in RR$ costante arbitraria.
Per risolvere l'equazione completa occorre applicare il metodo della variazione delle costanti: detta $gamma$ una funzione differenziable in $]0,+oo[$, imponiamo che la funzione $y=gamma*xe^x$ sia soluzione dell'equazione e determiniamo $gamma$.
Derivando l'uguaglianza $y=gamma*xe^x$ m.a.m. otteniamo $y'=gamma'*xe^x+gamma*(x+1)e^x=gamma'*xe^x+(x+1)/x y$: ricordando l'equazione possiamo affermare che $y=gamma*xe^x$ è soluzione se e solo se risulta:
(*) $\quad gamma'*xe^x=x(x+1) \quad \Leftrightarrow \quad gamma'=(x+1)e^(-x)$
la quale è un'equazione a variabili separabili in $gamma$ che si risolve integrando (ti lascio volentieri l'integrazione, che si fa facilmente per parti; ricorda di non scrivere la costante d'integrazione, ché nel caso non serve a molto).
Detta allora $gamma(x)$ la soluzione delle (*), l'integrale generale della nostra equazione è del tipo:
(**) $\quad y(x)=xe^x*[gamma(x)+c]$
e per risolvere il problema di Cauchy non rimane altro da fare che sostituire $x=1, y(1)=e$ in (**) e determinare il valore di $c$.
N.B.: Questo procedimento è molto alla buona (perchè si usano gli integrali indefiniti); il metodo corretto per la risoluzione sfrutta gli integrali definiti: per vedere qualche esempio puoi pensare di leggere le dispense di Fioravante.Patrone.
L'equazione omogenea associata è a variabili separabili e credo tu la sappia risolvere da solo: mi limito a segnalare che il suo integrale generale è $\bar(y)=c*xe^x$, con $c\in RR$ costante arbitraria.
Per risolvere l'equazione completa occorre applicare il metodo della variazione delle costanti: detta $gamma$ una funzione differenziable in $]0,+oo[$, imponiamo che la funzione $y=gamma*xe^x$ sia soluzione dell'equazione e determiniamo $gamma$.
Derivando l'uguaglianza $y=gamma*xe^x$ m.a.m. otteniamo $y'=gamma'*xe^x+gamma*(x+1)e^x=gamma'*xe^x+(x+1)/x y$: ricordando l'equazione possiamo affermare che $y=gamma*xe^x$ è soluzione se e solo se risulta:
(*) $\quad gamma'*xe^x=x(x+1) \quad \Leftrightarrow \quad gamma'=(x+1)e^(-x)$
la quale è un'equazione a variabili separabili in $gamma$ che si risolve integrando (ti lascio volentieri l'integrazione, che si fa facilmente per parti; ricorda di non scrivere la costante d'integrazione, ché nel caso non serve a molto).
Detta allora $gamma(x)$ la soluzione delle (*), l'integrale generale della nostra equazione è del tipo:
(**) $\quad y(x)=xe^x*[gamma(x)+c]$
e per risolvere il problema di Cauchy non rimane altro da fare che sostituire $x=1, y(1)=e$ in (**) e determinare il valore di $c$.
N.B.: Questo procedimento è molto alla buona (perchè si usano gli integrali indefiniti); il metodo corretto per la risoluzione sfrutta gli integrali definiti: per vedere qualche esempio puoi pensare di leggere le dispense di Fioravante.Patrone.
gugo ti ringrazio per la spiegazione. dove posso trovare queste dispense??
Qui sotto (vedi la "firma").
Comunque, per l'omogenea, puoi anche usare direttamente la formula risolutiva per le equazioni lineari omogenee del primo ordine.
Oltre che trattarla come equazione a variabili separabili, come suggeriva Gugo82.
Comunque, per l'omogenea, puoi anche usare direttamente la formula risolutiva per le equazioni lineari omogenee del primo ordine.
Oltre che trattarla come equazione a variabili separabili, come suggeriva Gugo82.
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