Help ordine di infinitesimo

[darinter]

Trovare l'ordine di infinitesimo per $x->0$ di $cos(x^(1/6))+e^((x^(1/3))/2)-2$.Come si fà??Ho provato con l'Hopital,ma non è stato molto utile.Con Taylor ho provato a fare in questo modo:
$cos(x^(1/6))=1-(x^(1/3))/2+o(x^(1/3))&
$e^((x^(1/3))/2)=1+(x^(1/3))/2+(x^(2/3))/4+o(x^(2/3))$
Di conseguenza $lim_(x->0) (cos(x^1/6)+e^((x^(1/3))/2)-2)/x^a=lim_(x->0) (1-(x^(1/3))/2+o(x^(1/3))+1+(x^(1/3))/2+(x^(2/3))/4+o(x^(2/3))-2)/x^a=(1/4)lim_(x->0) (x^(2/3))/x^a$ che è finito solo se $a=2/3$,ma l'ordine di infinitesimo non deve essere un numero intero?E' corretto questo procedimento?

[Sk_Anonymous]

Non so se il resto dell'esercizio è svolto correttamente, forse qualcuno più esperto di me ti potrà rispondere. Ti dico l'errore che ho individuato io: quando all'interno di un esrcizio sviluppi in serie di Taylor delle funzioni devi arrivare con tutte allo stesso punto, non ti puoi fermare con una a $o(x^(1/3))$ e con l'altra a $o(x^(2/3))$

[gugo82]

"darinter":Trovare l'ordine di infinitesimo per $x->0$ di $cos(x^(1/6))+e^((x^(1/3))/2)-2$.
Come si fà??

Notiamo innanzitutto che è $cos(x^(1/6))+e^((x^(1/3))/2)-2=(e^(1/2x^(1/3))-1)+(cosx^(1/6)-1)$ per ogni $x>0$; le due funzioni che figurano come addendi al secondo membro della precedente sono infinitesimi dotati di ordine (rispetto al campione $x$): infatti, risultando per due notissimi limiti fondamentali:

$lim_(x to 0^+)(e^(1/2x^(1/3))-1)/(1/2 x^(1/3))=1 quad => quad lim_(x to 0^+)(e^(1/2x^(1/3))-1)/(x^(1/3))=1/2 quad$,

$lim_(x to 0^+)(1-cos x^(1/6))/([x^(1/6)]^2)=1/2 quad => quad lim_(x to 0^+)(cos x^(1/6)-1)/(x^(1/3))=-1/2 quad$,

le applicazioni $e^(1/2x^(1/3))-1$ e $cos x^(1/6)-1$ sono infinitesime in $0$ entrambe d'ordine $1/3$.
Sommando i risultati ottenuti si vede che la funzione assegnata è infinitesima in $0$ certamente d'ordine superiore ad $1/3$, poichè invero si ha:

$lim_(x to 0^+)(cos(x^(1/6))+e^((x^(1/3))/2)-2)/(x^1/3)=1/2-1/2=0 quad$.

Proviamo allora a sviluppare con la formula di Taylor-McLaurin: abbiamo:

$e^y=1+y+y^2/2+o(y^3) quad => quad e^(1/2x^(1/3))-1=1/2x^(1/3)+1/2[1/2x^(1/3)]^2+o(x)=1/2x^(1/3)+1/8x^(2/3)+o(x)$

$cos y=1-y^2/2+y^4/24+o(y^6) quad => quad cosx^(1/6)-1=-1/2x^(1/3)+1/24x^(2/3)+o(x)$

e sommando:

$cosx^(1/6)+e^(1/2x^(1/3))-2=[-1/2x^(1/3)+1/24x^(2/3)+o(x)]+[1/2x^(1/3)+1/8x^(2/3)+o(x)]=1/6x^(2/3)+o(x) quad$;

ne viene che la funzione in esame è infinitesima in $0$ d'ordine uguale a $2/3$ ($>1/3$ come avevamo pronosticato! ).