HELP ME!!!!!!!!

[marcus83]

ragazzi cercherò di essere sintetico perchè l'esercizio è un po' complesso. Sia data la funzione F:R->R definita dalla legge $f(x)=1/(1+x^2)$ Quale delle seguenti asserzioni è VERA? 1)f è crescente 2) f ha un punto di minimo assoluto 3) f ristretta a [-1/radice di 3, 1/radice di 3] è convessa 4) f ha un asintoto obliquo 5) nessuna delle altre risposte. Allora in breve vi dico che avendo fatto lo studio del comportamento della funzione agli estremi del dominio, essa non ha nessun asintoto obliquo ma bensì un asintoto orrizontale per y=0. Quindi escludiamo la 4. avendo fatto la derivata prima la funzione è crescente da meno infinito a 0 e descresce da 0 in poi. quindi escluderei anche la n. 1. In x=0 la funzione ha un max che io credo sia solo relativo anche perchè non capisco bene come dovrei fare per vedere se assoluto. Facendo la derivata seconda al denominatore è > 0 per ogni R al numeratore arrivo ad avere il seguente polinomio: $10x^4+12X^2+2$ che non riesco a scomporre ne con ruffini ne riesco a fare nessun tipo di raccoglimento parziale ma noto che sia per valori negativi che positivi è sempre >0 quindi se numeratore e denominatore sono sempre > 0 potrei dire che la risposta esatta è la numero 3 anche se mi rimane il dubbio del massimo assoluto...mi spiegate come si individua???ringrazio in anticipo a chi mi darà una mano vi chiedo aiuto perchè lunedi ho l'esame...HELP ME!!!!!

[Gaal Dornick]

1) falsa: calcolo la derivata: $f'(x)=frac{-2x}{(1+x^2)^2}$
$f'(x)<0<=>x>0$
$f'(x)=0<=>x=0$
$f'(x)>0<=>x<0$
in realtà è crescente in $(-oo,0]$
2)no: l'inf è in 0, per $x->pmoo$
3)falsa: $f''(x)=frac{2(1+x^2)(3x^2+4x^4-1)}{(1+x^2)^4}$
$f''(x)>=0 <=> x<=-1/2 cup x>=1/2$
quindi in $[-1/sqrt(3),1/sqrt(3)]$ è concava
4) vera? la $f$ ha un asintoto orizzontale => ha un asintoto obliquo.. dipende dalle filosofie

[Gaal Dornick]

per alcuni un asintoto orizzontale è un asintoto obliquo con coefficiente angolare nullo

per vedere se assoluto: in $(-oo,0]$ la funzione è crescente: $forall x<=0: f(x)<=f(0)$
in $[0,+oo)$ la funzione è decrescente: $forall x>=0: f(x)<=f(0)$
quindi 0 è massimo assoluto (abbiamo preso un generico $x in RR$ e abbiamo visto che in ogni caso $f(x)<=f(0)$)

per risolvere in genere $ax^4+bx^2+c=0$
imponi $t=x^2$
avrai una semplice equazione di secondo grado $at^2+bt+c=0$
calcola gli zeri $t_1, t_2$
e imponi $x^2=t_1$ e $x^2=t_2$.. e otterrai le tue soluzioni..

nota: la tua equazione (che a me risulta diversa..) ha tutti i coefficienti positivi: quindi (regola di Cartesio) avrai $t=x^2<=k cup t=x^2>=h$ ove $k<0 \and h<0$
quindi la prima ti da nessun valore e la seconda $forall x in RR$
quindi è giusto quel che avevi visto "euristicamente"