Help integrali!

[laura832]

qualcuno può spiegrami come si arriva alla soluzione di questi integrali:
integrale da 0 a infinito x^3 e^-ax^2 dx = 1/2a^2
integrale da 0 a infinito x^2 e^-ax^2 dx = 1/4 sqrt(pigreco/a^3)

grazie tante..mi serve per struttura della materia

[goblyn]

Ometto i segni d'integrale. Quando scrivo in rosso vuol dire che bisogna valutare l'espressione tra gli estremi dell'integrale.

Procediamo per parti:

(x^3)e^(-ax^2)dx =

= -(x^2)/(2a) [-2ax e^(-ax^2)] dx =

= -(x^2)/(2a) e^(-ax^2) + x/a e^(-ax^2) dx =

= x/a e^(-ax^2) dx =

= -1/(2a^2) [-2ax e^(-ax^2)] dx =

= -(1/2a^2)e^(-ax^2)

Per comodità sostituiamo a = 1/(2s^2):

= -(s^4)/2 e^(-(x^2)/(2s^2)) =

= (s^4)/2 = 1/(8a^2)

Ci sarà un errore di conti... controlla!




Modificato da - goblyn il 28/12/2003 14:03:33

[goblyn]

(x^2) e^(-ax^2) dx =

= -x/(2a) [(-2ax) e^(-ax^2)] dx =

= -x/(2a) e^(-ax^2) + 1/(2a) e^(-ax^2) dx =

= 1/(2a) e^(-ax^2) dx =

Sostituzione a = 1/(2s^2):

= s^2 e^(-(x^2)/(2s^2)) dx =

= s^2 * sqrt(2*pi*s^2) [1/sqrt(2*pi*s^2) e^(-(x^2)/(2s^2)) dx] =

Ora abbiano l'integrale da 0 a + inf di una gaussiana a media nulla che fa 1/2:

= (s^2)/2 * sqrt(2*pi*s^2) =

= 1/(4a) * sqrt(pi/a) =

= 1/4 * sqrt(pi/(a^3))

questo è giusto anche come conti a quanto pare...

[laura832]

grazie..adesso controllo il primo..
però me ne sono dimenticato uno:
integrale da 0 a infinito di x e^-ax^2=1/2a

[goblyn]

lo ricavi dalla quarta riga di equazioni del primo...

[laura832]

ci ho provato ma nn riesco a trovare l'errore di calcolo nel primo integrale..