Help: integrale impossibile!

[r1chard]

Ciao, sto impazzendo da due giorni con quest'integrale. Non riesco a risolverlo ne "per parti",ne "per sostituzione". Spero in un vostro aiuto

$\int_-1^1 x^2sqrt(5(1-x^2))dx

[Gatto891]

$x = sint$ ?

[gugo82]

Propongo un trucco.

Lasciando da parte la costante [tex]$\sqrt{5}$[/tex] e razionalizzando al contrario ottieni:

[tex]$\int x^2\sqrt{1-x^2}\ \text{d} x =\int \frac{x^2(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}\ \text{d} x = \int x(x^2-1)\ \left( \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\right)\ \text{d} x$[/tex]

che si integra per parti con fattore differenziale [tex]\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\ \text{d} x =\text{d} [\sqrt{1-x^2}][/tex], di modo che:

[tex]$\int x^2\sqrt{1-x^2}\ \text{d} x = (x^3-x)\sqrt{1-x^2}-\int \sqrt{1-x^2}\ (3x^2-1)\ \text{d} x$[/tex]

quindi, spezzando l'ultimo integrale in somma e portando dall'altra parte il termine con [tex]$x^2$[/tex] si ottiene:

[tex]$4\int x^2\sqrt{1-x^2}\ \text{d} x = (x^3-x)\sqrt{1-x^2}+\int \sqrt{1-x^2}\ \text{d} x$[/tex],

ossia:

[tex]$\int x^2\sqrt{1-x^2}\ \text{d} x = \frac{1}{4}\left\{ (x^3-x)\sqrt{1-x^2}+\int \sqrt{1-x^2}\ \text{d} x\right\}$[/tex];

l'integrale a secondo membro si calcola tranquillamente per parti.