Help integrale definito !

[LucaC1]

$\int_0^(1/3) log(3x+1)dx$
$\int_0^(1/3) 1 log(3x+1)dx$
metodo per parti : $f'=1=f=int 1dx=x$
$g=log(3x+1)=g'=1/(3x+1)$

$x log(3x+1)-int (x)(1/(3x+1))dx$
$x log(3x+1)-int (x/(3x+1))dx$

$x log(3x+1)-int (x/(3x))+xdx$

semplificando la x mi resta 1/3 che se lo porto duori mi resta 1 che integrato darebbe x .
Non riesco ad andare avanti sempre se , fin qui è corretto Grazie in anticipo
Luca

[wnvl]

"LucaC":
$x log(3x+1)-int (x/(3x+1))dx$

Fin qui è corretto, poi hai fatto un errore...

[Obidream]

"LucaC":
$x log(3x+1)-int (x/(3x+1))dx$

$x log(3x+1)-int (x/(3x))+xdx$

Luca

Anche qui hai fatto un errore, che anche se è secondario rispetto a quello segnalato da wnvl, è abbastanza grave e conviene non ripeterlo

Praticamente stai dicendo che:

$x/(3x+1)$ è uguale a $x/(3x)+x$

Ma riprendendo $x/(3x)+x$, semplificando le $x$ al primo termine si ottiene $1/3+x$ da cui $ (3x+1)/3$, quindi:

$x/(3x+1)!=x/(3x)+x$

[LucaC1]

$x log(3x+1)-int x dx+int1/(3x+1)dx$

$x log(3x+1)-x^2/2+log(3x+1)$


$(1/3)=(1/3)log2-(1/3)+log2$
$(0)=log4=2log2$

$\int_0^(1/3) 1 log(3x+1)dx= (1/3)(2log2)$

adesso c siamo ??

[gio73]

Ciao Luca,
se non ho capito male tu dici che:
$x/(3x+1)=x+1/(3x+1)$?
se intendi questo direi di no...

[Obidream]

"LucaC":$x log(3x+1)-int x dx+int1/(3x+1)dx$

$x log(3x+1)-x^2/2+log(3x+1)$


$(1/3)=(1/3)log2-(1/3)+log2$
$(0)=log4=2log2$

$\int_0^(1/3) 1 log(3x+1)dx= (1/3)(2log2)$

adesso c siamo ??

Direi di no, io per fare queste primitive uso un metodo scemo, che però funziona

$\int log(3x+1)dx$

Per parti, come avevi già scritto tu possiamo riscrivere quella roba come:

$xlog(3x+1) -\int x*1/(3x+1)*3 dx$

quindi il nostro "problema ora si riconduce a dover calcolare questo:

$\int (3x)/(3x+1)dx$

Riscrivo $(3x)/(3x+1)$ come $A/(3x+1)+B$

Quindi $A+B(3x+1)$ da cui: $A+3Bx+B$

$\{(A+B=0),(3B=3):}$

$\{(A=-1),(B=1):}$

Quindi $(3x)/(3x+1)=-1/(3x+1)+1$

Quindi $\int (3x)/(3x+1)dx=\int-1/(3x+1)dx+\int 1dx$

Da qui dovresti riuscire a concludere tutto il resto

[LucaC1]

ma se moltiplico per 3 , non devo anche dividere quindi 1/3 fuori l'integrale ?

[Obidream]

"LucaC":ma se moltiplico per 3 , non devo anche dividere quindi 1/3 fuori l'integrale ?

No, quel $3$ viene dalla derivata di $g(x)=log(3x+1)$.. Infatti $log(h(x))$ si deriva come $1/h(x)*h '(x)$

[LucaC1]

hai ragione grazie millee ...

[Obidream]

"LucaC":hai ragione grazie millee ...

Di niente, comunque era l'errore di cui parlava wnvl

[LucaC1]

posto qui un altro esercizio simile :
$\int_(-2)^(1-\e\) log(1-x) dx$

$xlog(1-x)-\int_(-2)^(1-\e\) x(1/(1-x))-1 dx$

$xlog(1-x)+\int_(-2)^(1-\e\) (x/(1-x)) dx$

$ int (x/(1-x))=(A/(1-x))+B=A+B-xB$

$\{(A+B=0),(- B = 1):}$

$\{(A=1),(B = -1):}$

$\int (x/(1-x)) = \int(1/(1-x))dx + \int -1dx= log(1-x)-x $

$\int_(-2)^(1-\e\) log(1-x) dx = xlog(1-x) + log(1-x)-x + c $ , $ log(1-1+\e\) = 1$

$f(1-\e\)= (1-\e\)log(1-1+\e\)+(log\e\)-(1+\e\)= 1-\e\+1-1+\e\= 1$
$f(-2)=(-2)log(1-(-2))+(log3)-(-2)=-log3+2$
$f(1-\e\)-f(-2)= 1-(-log3+2)=log3-1$

le soluzione dell'esercizio sono :
$log3+3$
$2log3-1$
$log3$
nessuna delle altre risposte
$3log3-3$

a me risulta nessuna delle altre ..ma è correttoo??? grazie ancoraa
Luca

[Gi81]

Occhio: \(\int \frac{1}{1-x} \text{d}x = -\log(1-x)\).
Mentre tu hai scritto che fa \(\log(1-x)\)

[LucaC1]

perche se A=1 ?e poi il segno cambia fin dall'inizio perche c'è il -1 della derivata di log(1-x)

[Gi81]

Ripeto:

"LucaC":posto qui un altro esercizio simile :
$\int_(-2)^(1-\e\) log(1-x) dx$

$xlog(1-x)-\int_(-2)^(1-\e\) x(1/(1-x))-1 dx$

$xlog(1-x)+\int_(-2)^(1-\e\) (x/(1-x)) dx$

$ int (x/(1-x))=(A/(1-x))+B=A+B-xB$

$\{(A+B=0),(- B = 1):}$

$\{(A=1),(B = -1):}$

$\int (x/(1-x)) = \int(1/(1-x))dx + \int -1dx=... $

Fin qui va bene.
Poi tu hai erroneamente scritto che $\int(1/(1-x))dx $è uguale a $log(1-x)$.

E' sbagliato. Se infatti derivi $log(1-x)$ ottieni $-1/(1-x)$

[LucaC1]

ho capito , il risultato è 3log-3 . graziee