Help integrale
Buona sera a tutti.
vi scrivo un'integrale improprio che non riesco a risolvere in quanto non riesco a trovare il modo di procedere.
Ecco qua:
$\int_0^\(+oo) sqrt(1-e^(-4x))/(Senh(2x))dx$
Attendo aiuto...
Grazie
vi scrivo un'integrale improprio che non riesco a risolvere in quanto non riesco a trovare il modo di procedere.
Ecco qua:
$\int_0^\(+oo) sqrt(1-e^(-4x))/(Senh(2x))dx$
Attendo aiuto...
Grazie
Risposte
Ciao, ricorda che:
$sinh(2 x) = 1/2 (-e^(-2 x)+e^(2 x))$
$sinh(2 x) = 1/2 (-e^(-2 x)+e^(2 x))$
infatti ho utilizzato quella forma del seno iperbolico... poi ho usato il metodo della sostituzione. ma non riesco a trovare la forma adeguata di sostituzione.
oppure, se ho sostituito bene, non riesco a continuare con il calcolo.
oppure, se ho sostituito bene, non riesco a continuare con il calcolo.
Bhè direi che la sostituzione $e^(2x)=t$ sia la più appropriata 
p.s. adesso vado a nanna, domani mattina controllo se hai fatto tutto giusto
p.s. adesso vado a nanna, domani mattina controllo se hai fatto tutto giusto
Altrimenti, per non spaccarsi troppo la testa con i conti:
\[\displaystyle \int^{+\infty}_{0} \frac{\sqrt{1-e^{-4x}}}{\sinh(2x)} \; dx = 2 \int^{+\infty}_{0} \frac{\sqrt{1- e^{-4x}}}{e^{2x}-e^{-2x}} \; dx \]
e i "problemi" sembrano sorgere sia a \(\displaystyle 0 \) che a \(\displaystyle +\infty \).
Si ha che \[\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{1- e^{-4x}}}{e^{2x}-e^{-2x}}=0 \] del resto \[\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{1- e^{-4x}}}{e^{2x}-e^{-2x}} \cdot e^{2x}=\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}\sqrt{1- e^{-4x}}}{e^{2x}(1-e^{-4x})}=1 \] ossia \[\displaystyle \frac{\sqrt{1- e^{-4x}}}{e^{2x}-e^{-2x}} \sim_{+\infty} \frac{1}{e^{2x}} \] e quindi si può concludere che \[\displaystyle 2 \int^{+\infty}_{c} \frac{\sqrt{1- e^{-4x}}}{e^{2x}-e^{-2x}} \; dx \in \mathbb{R}, \quad c >0 \] per il criterio del confronto asintotico per gli integrali.
Lascio a te lo studio di \[\displaystyle \int^{c}_{0} \frac{\sqrt{1- e^{-4x}}}{e^{2x}-e^{-2x}} \; dx \]
\[\displaystyle \int^{+\infty}_{0} \frac{\sqrt{1-e^{-4x}}}{\sinh(2x)} \; dx = 2 \int^{+\infty}_{0} \frac{\sqrt{1- e^{-4x}}}{e^{2x}-e^{-2x}} \; dx \]
e i "problemi" sembrano sorgere sia a \(\displaystyle 0 \) che a \(\displaystyle +\infty \).
Si ha che \[\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{1- e^{-4x}}}{e^{2x}-e^{-2x}}=0 \] del resto \[\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{1- e^{-4x}}}{e^{2x}-e^{-2x}} \cdot e^{2x}=\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x}\sqrt{1- e^{-4x}}}{e^{2x}(1-e^{-4x})}=1 \] ossia \[\displaystyle \frac{\sqrt{1- e^{-4x}}}{e^{2x}-e^{-2x}} \sim_{+\infty} \frac{1}{e^{2x}} \] e quindi si può concludere che \[\displaystyle 2 \int^{+\infty}_{c} \frac{\sqrt{1- e^{-4x}}}{e^{2x}-e^{-2x}} \; dx \in \mathbb{R}, \quad c >0 \] per il criterio del confronto asintotico per gli integrali.
Lascio a te lo studio di \[\displaystyle \int^{c}_{0} \frac{\sqrt{1- e^{-4x}}}{e^{2x}-e^{-2x}} \; dx \]
per lo studio dell'esistenza dell'integrale non ho problemi.
solo che adesso sostituendo $e^(2x)$ con t, non riesco ad andare avanti.
solo che adesso sostituendo $e^(2x)$ con t, non riesco ad andare avanti.
c'è qualcuno che potrebbe aiutarmi a risolvere questo integrale?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo