Help esercizio serie geometrica
salve forum ho un esercizio dove devo studiare il carattere della serie di questa serie $ sum_( = <0>)^( = )(ln3x)^n$
-ho riconosciuto che è una serie geometrica con $q=ln3x$;
-per sapere se converge ho imposto la ragione |q|< 1 e ho trovato che la serie converge per valori di x<$e/3$
-ora per studiare il carattere imposto che la somma S=$((1-q^(n+1))/(1-q))$ però poi non riesco ad andare avanti nel calcoli
potete dirmi se è giustoil procedimento e darmi una mano a finire l'esercizio?
-ho riconosciuto che è una serie geometrica con $q=ln3x$;
-per sapere se converge ho imposto la ragione |q|< 1 e ho trovato che la serie converge per valori di x<$e/3$
-ora per studiare il carattere imposto che la somma S=$((1-q^(n+1))/(1-q))$ però poi non riesco ad andare avanti nel calcoli
potete dirmi se è giustoil procedimento e darmi una mano a finire l'esercizio?
Risposte
Attenzione alla disequazione
[tex]|\log(3x)|<1[/tex]
Manca una parte della soluzione.
Per la seconda parte, se non conosci la formula finale, fai il limite di quel risultato per [tex]n\to+\infty[/tex]
[tex]|\log(3x)|<1[/tex]
Manca una parte della soluzione.
Per la seconda parte, se non conosci la formula finale, fai il limite di quel risultato per [tex]n\to+\infty[/tex]
nella disequazione devo indicare che è |x| e non x,giusto?
nel calcolo di S invece proprio non riesco ad arrivare al risultato finale perchè mi blocco nel calcoli
nel calcolo di S invece proprio non riesco ad arrivare al risultato finale perchè mi blocco nel calcoli
La disequazione
[tex]|\log(3x)|<1[/tex]
implica
[tex]-1<\log(3x)<1[/tex]
Devi risolvere queste due disequazioni.
Per la seconda parte
[tex]\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{1}{1-q}[/tex] dal momento che [tex]|q|<1[/tex]
[tex]|\log(3x)|<1[/tex]
implica
[tex]-1<\log(3x)<1[/tex]
Devi risolvere queste due disequazioni.
Per la seconda parte
[tex]\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{1}{1-q}[/tex] dal momento che [tex]|q|<1[/tex]
Le cose potrebbero risultarti più chiare se fai una sostituzione, cioè poni: [tex]$log3x = t$[/tex]; così da ottenere:
[tex]$\sum_{n=0}^\infty (t^{n})$[/tex]
E' una serie geometrica.
Converge puntualmente e assolutamente [tex]$\forall t \in I=(-1,1)$[/tex];
mentre converge uniformemente e totalmente in un compatto di [tex]$I$[/tex]; cioè in [tex]$[-1-\delta ; 1+\delta]$[/tex] con [tex]$\delta >0$[/tex] piccolo a piacere.
Ora devi ritornare alla sostituzione iniziale, cioè: [tex]$log3x = t$[/tex].
Quindi la serie iniziale converge punt. e ass. [tex]$\forall x \mid \ -1
Dal grafico è immediato trovarne un riscontro:
[asvg]axes();
stroke="red";
plot("ln(3x)");[/asvg]
La somma della serie vale proprio [tex]$ \frac{1}{1-t} = \frac {1}{1-ln(3x)}$[/tex]
[tex]$\sum_{n=0}^\infty (t^{n})$[/tex]
E' una serie geometrica.
Converge puntualmente e assolutamente [tex]$\forall t \in I=(-1,1)$[/tex];
mentre converge uniformemente e totalmente in un compatto di [tex]$I$[/tex]; cioè in [tex]$[-1-\delta ; 1+\delta]$[/tex] con [tex]$\delta >0$[/tex] piccolo a piacere.
Ora devi ritornare alla sostituzione iniziale, cioè: [tex]$log3x = t$[/tex].
Quindi la serie iniziale converge punt. e ass. [tex]$\forall x \mid \ -1
Dal grafico è immediato trovarne un riscontro:
[asvg]axes();
stroke="red";
plot("ln(3x)");[/asvg]
La somma della serie vale proprio [tex]$ \frac{1}{1-t} = \frac {1}{1-ln(3x)}$[/tex]
ok grazie adesso ci riprovo
novello ma conosci la teoria sulle serie di funzioni (e serie di potenze)?
Quando parlo di convergenza puntuale, assoluta, uniforme o totale sai a cosa mi riferisco?
Prima,nella risposta, ho dato per scontato che le conoscessi, però ora rileggendo la domanda mi è venuto il dubbio.
Quando parlo di convergenza puntuale, assoluta, uniforme o totale sai a cosa mi riferisco?
Prima,nella risposta, ho dato per scontato che le conoscessi, però ora rileggendo la domanda mi è venuto il dubbio.
diciamo di si però le serie non mi sono molto simpatiche e le ho studiate un pò cosi 
"novello":
diciamo di si però le serie non mi sono molto simpatiche
Si in effetti sono sempre molto serie.
(battuta squallida, lo so!)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo