Help equazione logaritmica

[Soaring]

Salve a tutti!
Gentilmente, qualcuno potrebbe darmi qualche suggerimento per la risoluzione della seguente equazione logaritmica?

lnx = -ln(x - lnx)

Ringrazio anticipatamente chiunque vorrà interessarsi al problema.

[piero_1]

"Soaring":Salve a tutti!
Gentilmente, qualcuno potrebbe darmi qualche suggerimento per la risoluzione della seguente equazione logaritmica?

lnx = -ln(x - lnx)

Ringrazio anticipatamente chiunque vorrà interessarsi al problema.

fossi in te comincerei dal dominio.

[@melia]

Per prima cosa calcola il dominio (viene $x>0$), poi applichi il teorema della potenza e ottieni $lnx=ln(1/(x-lnx))$, quindi uguagli gli argomenti $x=1/(x-lnx)$, adesso con un paio di operazioni isoli il logaritmo in modo da ottenere $(x^2-1)/x=lnx$, rappresentando graficamente le due funzioni $f(x)=(x^2-1)/x$ e $ f(x)=lnx$ verifichi immediatamente che l'unica soluzione è $x=1$.

[Soaring]

Mille grazie!

Ovviamente, per poter determinare l'andamento del grafico della funzione $f(x)$ = $(x^2-1)/(x)$, è necessario effettuare lo studio completo della stessa (I.D., limiti, eventuali asintoti, positività, derivate, ecc.), giusto?

[@melia]

Sì, ma basta molto meno di quello che credi, intanto la devi studiare solo per x>0 e poi dalla derivata prima vedi che per x>0 è sempre crescente. Un'occhiata al segno ed è fatta.

[Soaring]

Cosa mi garantisce, però, che $P(1,0)$ sia l' unico punto d' intersezione tra le due funzioni?

[@melia]

Il grafico al finito, all'infinito il fatto che l'iperbole sia un infinito di ordine superiore al logaritmo.

PS $f(x)=(x^2-1)/x$ è un'iperbole essendo una funzione di secondo grado, portandola in forma implicita diventa $xy-x^2+1=0$, dotata di asintoti.

[Soaring]

Chiedo scusa, ma cosa intende per "grafico al finito"?

[@melia]

Intendo nell'intervallo in cui lo hai disegnato, dove x e y assumono valori finiti.

[Soaring]

Continuo a non capire la questione del "grafico al finito"

Il fatto che entrambe le funzioni abbiano concavità rivolta verso il basso può suggerirci qualcosa in merito all'unicità del punto d' intersezione (esiste qualche assioma e/o teorema al riguardo)?

Mi suggerirebbe, gentilmente, un testo di Analisi su cui la risoluzione di equazioni e disequazioni attraverso il metodo grafico sia ben trattata?

[piero_1]

"Soaring":Continuo a non capire la questione del "grafico al finito"

Osserva i grafici che hai tracciato. Nell'intervallo che ci interessa $(x>0)$ la funzione logaritmo si mantiene sopra il ramo
dell'iperbole per $01$.
Nel dominio considerato le due funzioni sono monotone crescenti e all'infinito il logaritmo cresce più lentamente (in termini prosaici "sta sotto")
Le due curve si incrociano una sola volta $(x=1)$.

Tra gli innumerevoli testi che trattano l'argomento te ne consiglio uno dello Scientifico - semplice ed efficace -:
"Zwirner - Itinerari nella matematica vol.2 - edizioni cedam"

[piero_1]

Dimenticavo...
per quanto riguarda il grafico "al finito" intendiamo (detto banalmente) il grafico che riusciamo a tracciare in termini finiti
sul nostro piccolo universo formato A4; insomma sul foglio

[Soaring]

"piero_":
Osserva i grafici che hai tracciato. Nell'intervallo che ci interessa $(x>0)$ la funzione logaritmo si mantiene sopra il ramo
dell'iperbole per $01$.
Nel dominio considerato le due funzioni sono monotone crescenti e all'infinito il logaritmo cresce più lentamente (in termini prosaici "sta sotto")
Le due curve si incrociano una sola volta $(x=1)$.

Tra gli innumerevoli testi che trattano l'argomento te ne consiglio uno dello Scientifico - semplice ed efficace -:
"Zwirner - Itinerari nella matematica vol.2 - edizioni cedam"

Dimenticavo...
per quanto riguarda il grafico "al finito" intendiamo (detto banalmente) il grafico che riusciamo a tracciare in termini finiti
sul nostro piccolo universo formato A4; insomma sul foglio

Ok, adesso mi risulta tutto più chiaro!
Grazie!
Ringrazio anche @melia per tutti i suggerimenti ed i chiarimenti fornitimi.