(HELP) Dire se un integrale converge
salve ragazzi...avrei un problema..dato un integrale come posso dire se esso converge o no?
faccio un esempio, se ho questo integrale:
$\int_0^infty((x+3)e^(-\alphax^2))/((x+1)^2(x^2+1)))dx$
per dimostrare che sia convergente devo confrontarlo con $|x|^alpha$? se si, come procedo??
grazie anticipatamente
faccio un esempio, se ho questo integrale:
$\int_0^infty((x+3)e^(-\alphax^2))/((x+1)^2(x^2+1)))dx$
per dimostrare che sia convergente devo confrontarlo con $|x|^alpha$? se si, come procedo??
grazie anticipatamente
Risposte
Si, quello è un modo. Potresti anche notare che la funzione è sempre positiva e proseguire per maggiorazione, magari ti viene più semplice.
$\int_0^infty((x+3)e^(-\alphax^2))/((x+1)^2(x^2+1)))dx$
lo scrivo così:
$\lim_{x \to \infty}((x+3))/((x+1)^2(x^2+1)(e^(\alphax^2)))$ --> $\lim_{n \to \infty}((x+3))/((x+1)^2(x^2+1)(e^(\alphax^2)))|x|^alpha
fino a qua è corretto no?
ora..dalla teoria so che se:
$alpha>1$ e
$l>1$ e $l$ è finito allora converge
$l$ è infinito non si può trarre nessuna conclusione
oppure se $alpha<=1$ e
$l>1$ e $l$ è finito allora converge
$l$ è infinito non si può trarre nessuna conclusione
ma come ci arrivo a ricavarmi $l$ e $alpha$? cioè devo cercare di annullare (farlo risultare 1) $e^(\alphax^2)$ tramite quel confronto con $|x|^alpha$ e quindi scrivere $e^(\alphax^2)=|x|^alpha$ e ricavare $alpha$?? se potete mi fate un esempio o direttamente il passaggio? perchè la teoria la so, mi manca un pò la pratica xD
lo scrivo così:
$\lim_{x \to \infty}((x+3))/((x+1)^2(x^2+1)(e^(\alphax^2)))$ --> $\lim_{n \to \infty}((x+3))/((x+1)^2(x^2+1)(e^(\alphax^2)))|x|^alpha
fino a qua è corretto no?
ora..dalla teoria so che se:
$alpha>1$ e
$l>1$ e $l$ è finito allora converge
$l$ è infinito non si può trarre nessuna conclusione
oppure se $alpha<=1$ e
$l>1$ e $l$ è finito allora converge
$l$ è infinito non si può trarre nessuna conclusione
ma come ci arrivo a ricavarmi $l$ e $alpha$? cioè devo cercare di annullare (farlo risultare 1) $e^(\alphax^2)$ tramite quel confronto con $|x|^alpha$ e quindi scrivere $e^(\alphax^2)=|x|^alpha$ e ricavare $alpha$?? se potete mi fate un esempio o direttamente il passaggio? perchè la teoria la so, mi manca un pò la pratica xD
se $alpha$ era già nel testo, dovresti usare un altro simbolo a cui attribuire tutte le caratteristiche del tuo $alpha$, ed eventualmente distinguere vari casi a seconda del valore di $alpha$ presente nel testo. OK?
Se $alpha>0$ quell'integrale converge perchè per $x->oo$ $f(x)$ è un infinitesimo di ordine superiore a qualsiasi potenza di x >1 (c'è dentro l'$e^(-alphax)$, in particolare ad esempio maggiore di 2, quindi converge.
Se $alpha=0$ diventa $int_0^oo(x+3)/((x+1)^2(x^2+1))dx$, e l'argomento è un infinitesimo di ordine 3 per x->oo quindi converge.
Se $alpha<0$, la tua $f(x)->_(x->oo)oo$ perchè al numeratore avresti un esponenziale che va all'infinito di ordien superiore rispetto a qualsiasi potenza di x e quindi l'integrale ovviamente non può convergere.
Se $alpha=0$ diventa $int_0^oo(x+3)/((x+1)^2(x^2+1))dx$, e l'argomento è un infinitesimo di ordine 3 per x->oo quindi converge.
Se $alpha<0$, la tua $f(x)->_(x->oo)oo$ perchè al numeratore avresti un esponenziale che va all'infinito di ordien superiore rispetto a qualsiasi potenza di x e quindi l'integrale ovviamente non può convergere.
quindi ricapitolando con $alpha>=0$ l'integrale converge, mentre con $alpha<0$ l'integrale diverge?
ma non lo uso il confronto con $|x|^alpha$? basta solo fare il limite?
ma non lo uso il confronto con $|x|^alpha$? basta solo fare il limite?
il criterio dell'ordine di infinitesimo è un corollario del criterio del confronto, proprio perchè si mette a cofronto la funzione con l'infinitesimo campione, che è appunto $1/|x|^alpha$...Di fatto guardando l'ordine di infinitesimo tu stai già facendo quel confronto capisci?
più o meno...
ma quindi se ad esempio ho questo integrale (scusa se ne metto un altro ma almeno mi dici se ho capito xD):
$\int_0^infty((x^2+x)e^(-\alphax^2))/((x^4+x^2+1))dx$
avrei che per $alpha>=0$ l'integrale converge?
cioè basta fare il limite scriverlo a parole che converge, senza nessuna dimostrazione/confronto o altro?
ma quindi se ad esempio ho questo integrale (scusa se ne metto un altro ma almeno mi dici se ho capito xD):
$\int_0^infty((x^2+x)e^(-\alphax^2))/((x^4+x^2+1))dx$
avrei che per $alpha>=0$ l'integrale converge?
cioè basta fare il limite scriverlo a parole che converge, senza nessuna dimostrazione/confronto o altro?
La giustificazione è l'ordine di infinitesimo della funzione...c'è un teorema che dice che se la tua f, conitnua su $[x_0, +oo)$incluso in domf è infinitesima per $x->oo$ di ordine maggiore di 1 l'integrale $int_(x_0)^oo$ converge, se $<=1$ diverge. Nulla si può dire per gli infinitesimi di ordine >1 ma minore di ogni $alpha>1$.
Analogamente, se la tua f continua su $(x_0x_1]$ incluso in domf è illimitata per x->x0, $int_(x_0)^(x_1)$ converge se lì è un infinito di ordine<1, diverge se è un infinito di ordine $>=1$ diverge, e nulal si può dire se è infinito di ordine $<1$ ma maggiore di ogni $alpha<1$.
E' questo il teorema di cui ti puoi avvalere in questo caso. Naturalmente tutto si riconduce quindi a stabilire un ordine di infinito o infinitesimo
Analogamente, se la tua f continua su $(x_0x_1]$ incluso in domf è illimitata per x->x0, $int_(x_0)^(x_1)$ converge se lì è un infinito di ordine<1, diverge se è un infinito di ordine $>=1$ diverge, e nulal si può dire se è infinito di ordine $<1$ ma maggiore di ogni $alpha<1$.
E' questo il teorema di cui ti puoi avvalere in questo caso. Naturalmente tutto si riconduce quindi a stabilire un ordine di infinito o infinitesimo
"adaBTTLS":
se $alpha$ era già nel testo, dovresti usare un altro simbolo a cui attribuire tutte le caratteristiche del tuo $alpha$, ed eventualmente distinguere vari casi a seconda del valore di $alpha$ presente nel testo. OK?
"antani":
Se $alpha>0$ quell'integrale converge perchè per $x->oo$ $f(x)$ è un infinitesimo di ordine superiore a qualsiasi potenza di x >1 (c'è dentro l'$e^(-alphax)$, in particolare ad esempio maggiore di 2, quindi converge.
Se $alpha=0$ diventa $int_0^oo(x+3)/((x+1)^2(x^2+1))dx$, e l'argomento è un infinitesimo di ordine 3 per x->oo quindi converge.
Se $alpha<0$, la tua $f(x)->_(x->oo)oo$ perchè al numeratore avresti un esponenziale che va all'infinito di ordien superiore rispetto a qualsiasi potenza di x e quindi l'integrale ovviamente non può convergere.
se metti insieme le informazioni contenute in questi due messaggi con quello che volevi fare tu, saprai che non devi considerare $x^alpha$ ma $x^beta$ ed usarlo solo nel caso $alpha=0$.
ahhh ok ora ci sono..avevo saltato un passaggio mentale xD
ok grazie ragazzi
ciaoo
ok grazie ragazzi
ciaoo
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