Help! Come si fa a trovare le limitazioni nel passaggio a coordinate cilindriche??
Come si fa a trovare (in generale ) le limitazione nel passaggio a coordinate cilindriche ? 
ad esempio in questo esercizio
Testo :
Stabilire se il dominio dello spazio $ D = {(x,y,z) : z^2 <= x^2+y^2 and z>= x^2+y^2} $ è un dominio normale e stabilire le sue limitazioni nel passaggio a coordinate cilindriche.
Mio Svolgimento:
•Se ho ben capito un "dominio normale dello spazio (rispetto al piano XY)" è un dominio avente le coordinate x ed y appartenenti ad un dominio D del piano mentre la variabile z deve variare tra due funzioni $ alpha(x,y) $ e $ beta(x,y) in C^0(D) $.
In questo caso non ho informazioni sulle variabili x ed y , quindi D non è normale ?
•Per quanto concerne il passaggio a coordinate cilindriche , io so che
$ x = rho costheta $
$ y = rho sintheta $
$ z = z $
Da cui riesco per sostituzione a ricavare le limitazioni sulla z : $ -rho < z < rho $ , ma come trovo le limitazioni su $ rho $ e $ theta $ ?
Grazie in Anticipo
ad esempio in questo esercizio Testo :
Stabilire se il dominio dello spazio $ D = {(x,y,z) : z^2 <= x^2+y^2 and z>= x^2+y^2} $ è un dominio normale e stabilire le sue limitazioni nel passaggio a coordinate cilindriche.
Mio Svolgimento:
•Se ho ben capito un "dominio normale dello spazio (rispetto al piano XY)" è un dominio avente le coordinate x ed y appartenenti ad un dominio D del piano mentre la variabile z deve variare tra due funzioni $ alpha(x,y) $ e $ beta(x,y) in C^0(D) $.
In questo caso non ho informazioni sulle variabili x ed y , quindi D non è normale ?
•Per quanto concerne il passaggio a coordinate cilindriche , io so che
$ x = rho costheta $
$ y = rho sintheta $
$ z = z $
Da cui riesco per sostituzione a ricavare le limitazioni sulla z : $ -rho < z < rho $ , ma come trovo le limitazioni su $ rho $ e $ theta $ ?
Grazie in Anticipo
Risposte
Secondo me non è normale, poiché $z$ non varia fra due curve, il dominio infatti come si può subito notare è la superficie di un cono illimitato e capovolto con vertice l'origine.
La restrizione per $z$ è errata , perché non hai considerato la seconda diseuquazione grazie alla quale la restrizione diventa $z=\rho$ , come puoi vedere inoltre le restrizioni su $\rho$ e $\theta$ sono solo quelle dovute al cambio di coordinate ovvero che $\rho >0$ e che $0\leq \theta < 2\pi$ e non vi sono altre restrizioni poiché non ci sono altre disuguaglianze da usare.
Queste tre restrizioni come puoi notare caratterizzano la superficie del cono che ti ho previo descritto.
La restrizione per $z$ è errata , perché non hai considerato la seconda diseuquazione grazie alla quale la restrizione diventa $z=\rho$ , come puoi vedere inoltre le restrizioni su $\rho$ e $\theta$ sono solo quelle dovute al cambio di coordinate ovvero che $\rho >0$ e che $0\leq \theta < 2\pi$ e non vi sono altre restrizioni poiché non ci sono altre disuguaglianze da usare.
Queste tre restrizioni come puoi notare caratterizzano la superficie del cono che ti ho previo descritto.
"Bossmer":
Secondo me non è normale, poiché $z$ non varia fra due curve, il dominio infatti come si può subito notare è la superficie di un cono illimitato e capovolto con vertice l'origine.
La restrizione per $z$ è errata , perché non hai considerato la seconda diseuquazione grazie alla quale la restrizione diventa $z=\rho$ , come puoi vedere inoltre le restrizioni su $\rho$ e $\theta$ sono solo quelle dovute al cambio di coordinate ovvero che $\rho >0$ e che $0\leq \theta < 2\pi$ e non vi sono altre restrizioni poiché non ci sono altre disuguaglianze da usare.
Queste tre restrizioni come puoi notare caratterizzano la superficie del cono che ti ho previo descritto.
Grazie mille, mi è stata molto utile la tua spiegazione!! Ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo