[Help!] Calcolo momento d'inerzia di un cono retto cavo
prendo il cono retto cavo generico con la punta nell'origine con h altezza del cono, R raggio massimo della circonferenza di base e r distanza dall'asse z.
$\int r^2 dm$ dove $\dm=rho2pidz$ con $\rho$ densità superficiale che prendiamo come unitaria, $\r=R/h z=z$ con $\R/h=1$, $\dr=dz$
$\int int r^3 d(theta) dz=2pi int_{0}^{R} r^3 dr= 2pi (R^4)/4=pi/2 R^4$
E' giusto secondo voi? o è completamente sbagliato?
$\int r^2 dm$ dove $\dm=rho2pidz$ con $\rho$ densità superficiale che prendiamo come unitaria, $\r=R/h z=z$ con $\R/h=1$, $\dr=dz$
$\int int r^3 d(theta) dz=2pi int_{0}^{R} r^3 dr= 2pi (R^4)/4=pi/2 R^4$
E' giusto secondo voi? o è completamente sbagliato?
Risposte
Intanto il momento d'inerzia lo si calcola rispetto a qualcosa, un punto, un'asse, un piano...
Qui mi pare che tu intenda il momento d'inerzia rispetto all'asse z.
Non ho capito i tuoi passaggi, puoi esplicitarli meglio?
E' un pò che non guardo sta roba, comunque provo a darti una mano; qui (come del resto in ogni figura dotata di ragionevole simmetria), potresti usare il th. di Fubini in questo modo:
dato che conosci il momento d'inerzia di un disco rispetto all'asse perpendicolare
Sia $O\in "asse" z\ \ $ $\int\int\int_C [(P-O)\times\hatk]^2 *\rho(P) \ dP=\int_0^h M_d(z) *dz$, dove $M_d(z)$ è il momento del disco ad altezza $z$, praticamente stai vedendo il cono come una pila di dischi.
Se il tuo cono è cavo, impili circonferenze, ma non cambia nulla, tranne $M_d(z)$.
Qui mi pare che tu intenda il momento d'inerzia rispetto all'asse z.
Non ho capito i tuoi passaggi, puoi esplicitarli meglio?
E' un pò che non guardo sta roba, comunque provo a darti una mano; qui (come del resto in ogni figura dotata di ragionevole simmetria), potresti usare il th. di Fubini in questo modo:
dato che conosci il momento d'inerzia di un disco rispetto all'asse perpendicolare
Sia $O\in "asse" z\ \ $ $\int\int\int_C [(P-O)\times\hatk]^2 *\rho(P) \ dP=\int_0^h M_d(z) *dz$, dove $M_d(z)$ è il momento del disco ad altezza $z$, praticamente stai vedendo il cono come una pila di dischi.
Se il tuo cono è cavo, impili circonferenze, ma non cambia nulla, tranne $M_d(z)$.
"Fox":
Intanto il momento d'inerzia lo si calcola rispetto a qualcosa, un punto, un'asse, un piano...
Qui mi pare che tu intenda il momento d'inerzia rispetto all'asse z.
Si scusami mi sono scordato di dire che era un momento d'inerzia rispetto all'asse z e il cono è cavo.
ho risolto l'esercizio nel modo seguente:
l'apotema è $s=(h^2+R^2)^(1/2)$ cioè $ds=(dz^2+dr^2)^(1/2)$ ma l'incremento $dz=dr$ perchè il cono retto e sistemato a 45° con l'asse z quindi &ds=sqrt(2)dr& se ne deduce che $d(Sigma)=rd(theta)ds=rd(theta)sqrt(2)dr$ che è il d(superficie) del cono.
Ora applicando la formula del momento di inerzia $\int\int r^2 d(Sigma)$ viene $sqrt(2) \int_o^(2pi) d(theta) \int_o^R r^3 dr$
ne risulta $pi/sqrt(2) R^4$ poi sapendo che $sqrt(2) pi R^2$ è l'area (cioè la massa) allora
$I=1/2MR^2$
sopra avevo sbagliato perchè ho considerato solo $dr=dz$ ma quello che serve nel $d(Sigma)$ è $ds$ cioè il d(apotema)
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