[help] calcolare un limite di successione
Ciao ragazzi. Sto provando a calcolare un limite di successione, ma non mi viene :/
$ lim_(n -> oo ) ln (((n)^(2) + 2) / (4n)^(2)) $
Io semplificherei $(n)^(2)$ ottenendo $ln (1/4)$ il risultato però è $ -2 ln(2)$ ... sono io che ho un vuoto con i logaritmi, e quindi non capisco come semplificare il mio risultato facendolo diventare come quello della soluzione, oppure ho sbagliato qualcosa?
Inoltre, in $lim_(n -> oo) (n+sen(3n)) / (n - sen(2n)) $ posso dire che converge a 1, ignorando la funzione seno e tenendo soltanto $n/n$, quindi semplificandolo in 1?
grazie della disponibilità!
$ lim_(n -> oo ) ln (((n)^(2) + 2) / (4n)^(2)) $
Io semplificherei $(n)^(2)$ ottenendo $ln (1/4)$ il risultato però è $ -2 ln(2)$ ... sono io che ho un vuoto con i logaritmi, e quindi non capisco come semplificare il mio risultato facendolo diventare come quello della soluzione, oppure ho sbagliato qualcosa?
Inoltre, in $lim_(n -> oo) (n+sen(3n)) / (n - sen(2n)) $ posso dire che converge a 1, ignorando la funzione seno e tenendo soltanto $n/n$, quindi semplificandolo in 1?
grazie della disponibilità!
Risposte
Hai [tex]$\ln(1/4)=\ln(2^{-2})=-2\ln 2$[/tex].
Nel secondo quello che dici è giusto ma devi giustificarlo adeguatamente: il tutto riesce perché essendo la funzione seno limitata, puoi scrivere
[tex]$-1\leq\sin(a n)\leq 1\ \Leftrightarrow\ -\frac{1}{n}\leq\frac{\sin(a n)}{n}\leq\frac{1}{n}$[/tex]
ed usando il teorema dei Carabinieri (o del confronto) trovi che il limite della successione al centro converge a zero (come le due esterne).
Nel secondo quello che dici è giusto ma devi giustificarlo adeguatamente: il tutto riesce perché essendo la funzione seno limitata, puoi scrivere
[tex]$-1\leq\sin(a n)\leq 1\ \Leftrightarrow\ -\frac{1}{n}\leq\frac{\sin(a n)}{n}\leq\frac{1}{n}$[/tex]
ed usando il teorema dei Carabinieri (o del confronto) trovi che il limite della successione al centro converge a zero (come le due esterne).
grazie!
E nel caso di $ lim_(n -> oo ) (ln(1+n))/(ln(3n))$ ... come si può procedere?
E nel caso di $ lim_(n -> oo ) (ln(1+n))/(ln(3n))$ ... come si può procedere?
Sono interessato a questa discussione, anche io ho qualche dubbio sui limiti. Scusate se mi intrometto
Io risolverei in questo modo.
Il limite asisotico allo stesso senza l'"1" così da lasciare solamente ln(n). Poichè visto che la funzione tende all'infinito il valore "+1" è irrilevante.
Se questo passaggio è corretto dovrebbe dare come risultato 1/3.
E' corretto?
Io risolverei in questo modo.
Il limite asisotico allo stesso senza l'"1" così da lasciare solamente ln(n). Poichè visto che la funzione tende all'infinito il valore "+1" è irrilevante.
Se questo passaggio è corretto dovrebbe dare come risultato 1/3.
E' corretto?
"Loverdrive":
grazie!
E nel caso di $ lim_(n -> oo ) (ln(1+n))/(ln(3n))$ ... come si può procedere?
Tutto si semplifica considerando che: [tex]ln(1+n) = ln[n*(1+1/n)] =ln(n) + ln(1+1/n)[/tex]
"shaducci":
Sono interessato a questa discussione, anche io ho qualche dubbio sui limiti. Scusate se mi intrometto
Io risolverei in questo modo.
Il limite asisotico allo stesso senza l'"1" così da lasciare solamente ln(n). Poichè visto che la funzione tende all'infinito il valore "+1" è irrilevante.
Se questo passaggio è corretto dovrebbe dare come risultato 1/3.
E' corretto?
Anche io ho fatto questo ragionamento... però il testo riporta come soluzione $1$
Non da $1/3$ ma $1$.
[tex]$\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+n)}{\ln(3n)}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+n)}{\ln(3)+\ln(n)}=$[/tex]
asintoticamente
[tex]$=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{\ln(n)}=1$[/tex]
[tex]$\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+n)}{\ln(3n)}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+n)}{\ln(3)+\ln(n)}=$[/tex]
asintoticamente
[tex]$=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{\ln(n)}=1$[/tex]
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