Help Analisi II
Ragazzi spero che qualcuno mi possa aiutare con questo argomento:la convergenza puntuale e uniforme di una successione di funzioni.Per quanto riguarda la convergenza puntuale tutto Ok,ma poi come si fa a sapere se la successioni converge o meno uniformemente?Mi potresta anche fare unesempio numerico?
Risposte
Questo e' un esempio "classico" per cui potresti averlo gia' visto:
Definiamo la successione di funzioni:
fn (x) = n x exp ( -n x^2 )
Con dominio ristretto a [0 +00[
La successione converge puntualmente a f(x)=0.
Infatti fissato x=a per ogni a
n a exp ( -n a^2 ) --> 0 (quando n-->+00)
Per la convergenza uniforme dovrebbe essere
|| fn(x) - 0 ||C^0 --> 0
(o se non hai visto la norma Lagrangiana semplicemente Sup |fn(x) - 0|-->0)
Ma f'=[1-2x^2n]*n*exp(-n*x^2)
f' si annulla per x=(2n)^(-1/2) che chiamo q
Ora fn(q)=n^(1/2)/((2*e)^(1/2)) = Sup fn --> +00 (quando n-->+00)
Quindi questa funzione converge puntualmente in R+ e uniformemente solo in ]0 +00[ mentre in [0 +00[ NON converge uniformemente.
Come vedi per capire se converge o meno uniformemente si puo' procedere cosi':
1. Si guarda dove la funzione converge puntualmente. (Se non converge nemmeno puntualmente non converge nemmeno uniformemente)
2. Si definisce una nuova funzione come la differenza (in modulo) fra la funzione di partenza e quella cui converge puntualmente. (Sara' una funzione dipendente da un parametro naturale)
3. Si trova il punto di massimo ASSOLUTO di questa funzione.
4. Sostituendo il punto in questione dentro la funzione si trova una successione. Se la successione tende a zero allora la funzione convergere uniformemente.
Definiamo la successione di funzioni:
fn (x) = n x exp ( -n x^2 )
Con dominio ristretto a [0 +00[
La successione converge puntualmente a f(x)=0.
Infatti fissato x=a per ogni a
n a exp ( -n a^2 ) --> 0 (quando n-->+00)
Per la convergenza uniforme dovrebbe essere
|| fn(x) - 0 ||C^0 --> 0
(o se non hai visto la norma Lagrangiana semplicemente Sup |fn(x) - 0|-->0)
Ma f'=[1-2x^2n]*n*exp(-n*x^2)
f' si annulla per x=(2n)^(-1/2) che chiamo q
Ora fn(q)=n^(1/2)/((2*e)^(1/2)) = Sup fn --> +00 (quando n-->+00)
Quindi questa funzione converge puntualmente in R+ e uniformemente solo in ]0 +00[ mentre in [0 +00[ NON converge uniformemente.
Come vedi per capire se converge o meno uniformemente si puo' procedere cosi':
1. Si guarda dove la funzione converge puntualmente. (Se non converge nemmeno puntualmente non converge nemmeno uniformemente)
2. Si definisce una nuova funzione come la differenza (in modulo) fra la funzione di partenza e quella cui converge puntualmente. (Sara' una funzione dipendente da un parametro naturale)
3. Si trova il punto di massimo ASSOLUTO di questa funzione.
4. Sostituendo il punto in questione dentro la funzione si trova una successione. Se la successione tende a zero allora la funzione convergere uniformemente.
riguardo al punto 3.: bisogna trovare l'estremo superiore (che può essere anche un valore non assunto dalla funzione), non il massimo!
Si hai perfettamente ragione!
Ho scritto una emerita c.....
Nel caso di domini non compatti bisogna cercare il sup per un n generico e poi farne il limite.
Ho scritto una emerita c.....
Nel caso di domini non compatti bisogna cercare il sup per un n generico e poi farne il limite.
ok grazie mille
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