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[nikoroby84]

Fissato nel piano un sistema di riferimento ortonormale R(O,x,y) sia R' il riferimento che si ottiene ruotando il versore del semiasse negativo delle ascisse in modo che coincida in direzione e verso cl vettore a(1,-1). Scrivere le equazioni del cambiamento di riferimento da R a R' e trovare l'equazione rispetto ad R' della retta r:2x+y+1=0

[ciampax]

Indichiamo con

[math]A=\left(\begin{array}{ccc}
\cos\theta & & \sin\theta\\ & & \\ -\sin\theta & & \cos\theta
\end{array}\right)[/math]

la matrice di rotazione. Se

[math]-i=(-1,0)[/math]

è il versore del semiasse negativo delle ascisse, allora il nuovo versore

[math]i'=\frac{a}{|a|}[/math]

si ottiene da

[math]i'=A(-i)=\left(\begin{array}{ccc}
\cos\theta & & \sin\theta\\ & & \\ -\sin\theta & & \cos\theta\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} -1\\ \\ 0\end{array}\right)[/math]

Essendo

[math]|a|=\sqrt{2}[/math]

segue che

[math]i'=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/math]

da cui le equazioni

[math]\left\{\begin{array}{l}
\frac{\sqrt{2}}{2}=-\cos\theta\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin\theta
\end{array}\right.[/math]

la cui unica soluzione risulta

[math]\theta=\frac{5\pi}{4}[/math]

e si ha

[math]A=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\begin{array}{ccc}
-1 & & -1\\ & & \\ 1 & & -1\end{array}\right)[/math]

Le equazioni di trasformazione dalle coordinate

[math](x,y)[/math]

alle coordinate

[math](x',y')[/math]

risultano allora

[math]\left\{\begin{array}{l}
x'=\frac{\sqrt{2}}{2}(-x-y)\\ \\ y'=\frac{\sqrt{2}}{2}(x-y)
\end{array}\right.[/math]

da cui le trasformazioni inverse

[math]\left\{\begin{array}{l}
x=\frac{\sqrt{2}}{2}(-x'+y')\\ \\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}(-x'-y')
\end{array}\right.[/math]

Ne segue che l'equazione della retta nelle nuove coordinate risulta

[math]r': 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}(-x'+y')+\frac{\sqrt{2}}{2}(-x'-y')+1=0[/math]

e cioè

[math]3\sqrt{2}\ x'-\sqrt{2}\ y'-2=0[/math]