Heine Cantor
non ho capito alcuni passaggi del teorema di Heine Cantor: cerco di esporlo e di fermarmi al punto "oscuro":
$EE \epsilon $...$AA \delta $...con $|x-y|<\delta$ t.c. $|f(x)-f(y)|>=\epsilon$
poiché è $AA \delta$ prendiamo $\delta=1/n$ (primo dubbio: $1/n$ non è un numero ma una successione) e scegliamo $x_n$ e $y_n$ due punti $ in[a,b]$ t.c $|x_n-y_n|<1/n$ e $|f(x_n).f(y_n)|>=\epsilon$;
si prendono ora due estratte dalle successioni $x_n$ e $y_n$(secondo dubbio: come fanno due punti a diventare successioni?) rispett $x_k$ e $y_k$ convergenti la prima a $x_0$ la seconda a $y_0$.
Poiché
$lim_(ktoinfty) |(y_k)-(x_k)|<=lim_(k->infty)(1/n_k)=0$
si ha che
$\lim_(k->infty) (y_k)=y_0=lim_(k->infty)x_k+(y_k-(x_k))=x_0$ (terzo dubbio: chi mi dice che $|(y_k)-(x_k)|<=1/n_k$?)
(quarto: questo passaggio non è inutile? bastava dire $0<=|(x_k)-(y_k)|<=1/n_k$ quindi per confronto $|(x_k)-(y_k)|$ tende a 0 quindi $x_0=y_0$).
quindi le due sottosuccessioni hanno lo stesso limite:
poiché la funzione è continua $f(x_k)=f(x_0)$ e $f(y_k)=f(x_0)$ e $lim_(ktoinfty)|f(x_n)-f(y_n)|=0$ contraddicendo l'ipotesi.
$EE \epsilon $...$AA \delta $...con $|x-y|<\delta$ t.c. $|f(x)-f(y)|>=\epsilon$
poiché è $AA \delta$ prendiamo $\delta=1/n$ (primo dubbio: $1/n$ non è un numero ma una successione) e scegliamo $x_n$ e $y_n$ due punti $ in[a,b]$ t.c $|x_n-y_n|<1/n$ e $|f(x_n).f(y_n)|>=\epsilon$;
si prendono ora due estratte dalle successioni $x_n$ e $y_n$(secondo dubbio: come fanno due punti a diventare successioni?) rispett $x_k$ e $y_k$ convergenti la prima a $x_0$ la seconda a $y_0$.
Poiché
$lim_(ktoinfty) |(y_k)-(x_k)|<=lim_(k->infty)(1/n_k)=0$
si ha che
$\lim_(k->infty) (y_k)=y_0=lim_(k->infty)x_k+(y_k-(x_k))=x_0$ (terzo dubbio: chi mi dice che $|(y_k)-(x_k)|<=1/n_k$?)
(quarto: questo passaggio non è inutile? bastava dire $0<=|(x_k)-(y_k)|<=1/n_k$ quindi per confronto $|(x_k)-(y_k)|$ tende a 0 quindi $x_0=y_0$).
quindi le due sottosuccessioni hanno lo stesso limite:
poiché la funzione è continua $f(x_k)=f(x_0)$ e $f(y_k)=f(x_0)$ e $lim_(ktoinfty)|f(x_n)-f(y_n)|=0$ contraddicendo l'ipotesi.
Risposte
Il secondo dubbio è parente del primo.
Di fatto si usa la negazione dell'uniforme continuità per definire per induzione una coppia di successioni tali che...
Cioè $EE epsilon > 0$ tale che:
... $delta_1 = 1$ , in corrispondenza del quale $EE x_1 , y_1$ tali che $| x_1 - y_1 | < 1$ pur essendo $|f(x_1) - f(y_1) | >= epsilon$
... $delta_2 = 1/2$ , in corrispondenza del quale $EE x_2 , y_2$ tali che $| x_2 - y_2 | < 1$ pur essendo $|f(x_2) - f(y_2) | >= epsilon$
E, alla fine, per induzione, si generalizza ad un generico $n in NN$...
Di fatto si usa la negazione dell'uniforme continuità per definire per induzione una coppia di successioni tali che...
Cioè $EE epsilon > 0$ tale che:
... $delta_1 = 1$ , in corrispondenza del quale $EE x_1 , y_1$ tali che $| x_1 - y_1 | < 1$ pur essendo $|f(x_1) - f(y_1) | >= epsilon$
... $delta_2 = 1/2$ , in corrispondenza del quale $EE x_2 , y_2$ tali che $| x_2 - y_2 | < 1$ pur essendo $|f(x_2) - f(y_2) | >= epsilon$
E, alla fine, per induzione, si generalizza ad un generico $n in NN$...
poiché è $AA \delta$ capito grazie
e per il terzo e quarto dubbio?
La dim. come da te riportata non è del tutto corretta.
Una volta arrivati alle due successioni $(x_n)$, $(y_n)$, si estrae dalla prima una sottosuccessione $(x_{n_k})$ convergente a un certo punto $x_0\in K$.
Si verifica che anche $(y_{n_k})$ converge a $x_0$; si ha infatti che
\[
|y_{n_k} - x_0| \leq |y_{n_k} - x_{n_k}| + |x_{n_k} - x_0| \leq \frac{1}{n_k} + |x_{n_k} - x_0| \to 0 \qquad \text{per}\ k\to +\infty.\]
Si conclude infine osservando che, per la continuità di $f$,
\[
\epsilon\leq |f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| \leq |f(x_{n_k}) - f(x_0)| + |f(y_{n_k}) - f(x_0)|\to 0 \qquad\text{per}\ k\to +\infty\]
da cui l'assurdo.
Una volta arrivati alle due successioni $(x_n)$, $(y_n)$, si estrae dalla prima una sottosuccessione $(x_{n_k})$ convergente a un certo punto $x_0\in K$.
Si verifica che anche $(y_{n_k})$ converge a $x_0$; si ha infatti che
\[
|y_{n_k} - x_0| \leq |y_{n_k} - x_{n_k}| + |x_{n_k} - x_0| \leq \frac{1}{n_k} + |x_{n_k} - x_0| \to 0 \qquad \text{per}\ k\to +\infty.\]
Si conclude infine osservando che, per la continuità di $f$,
\[
\epsilon\leq |f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| \leq |f(x_{n_k}) - f(x_0)| + |f(y_{n_k}) - f(x_0)|\to 0 \qquad\text{per}\ k\to +\infty\]
da cui l'assurdo.
Salve, ho un dubbio su questo teorema ed evito di aprire un' altra discussione:
la dimostrazione che conosco io arriva fino a |Xn−Yn|<1/n (avendo scelto delta = ad 1/n)
Dopodichè sviluppando il valore assoluto ottengo Xn - 1/n < Yn < Xn +1/n
Poichè Xn tende ad un certo valore allora anche Yn per il teorema dei carabinieri tenderà allo stesso valore. E' proprio questo il passaggio che non mi è molto chiaro: il teorema dei carabinieri funziona con il simbolo < o ha bisogno del minore/uguale?
Non riesco a capire come, senza l'uguaglianza possa funzionare (chiamiamo x0 il limite a cui tende Xn, otterrei x0
Vi ringrazio molto.
la dimostrazione che conosco io arriva fino a |Xn−Yn|<1/n (avendo scelto delta = ad 1/n)
Dopodichè sviluppando il valore assoluto ottengo Xn - 1/n < Yn < Xn +1/n
Poichè Xn tende ad un certo valore allora anche Yn per il teorema dei carabinieri tenderà allo stesso valore. E' proprio questo il passaggio che non mi è molto chiaro: il teorema dei carabinieri funziona con il simbolo < o ha bisogno del minore/uguale?
Non riesco a capire come, senza l'uguaglianza possa funzionare (chiamiamo x0 il limite a cui tende Xn, otterrei x0
Vi ringrazio molto.
Si può dire che, anche se lì hai il minore stretto, mandando $n$ all'infinito la disuguaglianza si conserva, ma è necessario mettere $<=$. E' una proprietà dei limiti.
In sostanza è poco importante se in quella disuguaglianza compare $<$ o $<=$: puoi applicare lo stesso il teorema che hai citato.
In sostanza è poco importante se in quella disuguaglianza compare $<$ o $<=$: puoi applicare lo stesso il teorema che hai citato.
Grazie Seneca, c'è qualcosa di più particolare che dovrei sapere su questa proprietà?
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