Hausdorff e spazi metrici

[Aliseo1]

Salve a tutti ragazzi, ultimamente mi sono approcciato, da auto-didatta, allo studio degli spazi metrici, in riferimento ai quali però non riesco a capire (meglio dimostrare) come uno spazio metrico sia anche di Hausdorff . Potreste aiutarmi in questo?
Ho capito che uno spazio di Hausdorff è uno spazio che soddisfa la seguente condizione

[tex]\forall x, y \in X[/tex] [tex]\exists I_{x} \ni x , I_{y} \ni y[/tex] tali che [tex]I_{x} \cap I_{y} = \emptyset[/tex]

ma non riesco a dimostrare che uno spazio metrico è di Hausdorff

Grazie mille per chi mi aiuterà!!!

[gugo82]

Disuguaglianza triangolare...

[Gaal Dornick]

Prova ad utilizzare gli intorni più "maneggevoli" che ti vengono in mente, come ad esempio le sfere. E ad usare il suggerimento di Gugo..

[Aliseo1]

Grazie per i suggerimenti. Stavo pensando di dimostrare la separatezza di Hausdorff supponendo all'inizio che [tex]I_x \cap I_y \neq \emptyset[/tex] per arrivare alla fine ad una contraddizione (come in Analisi Uno per dimostrare l'unicità del limite).

Riguardo alla disuguaglianza triangolare non saprei come iniziare il ragionamento ...

[Gaal Dornick]

Non val la pena di ragionare per assurdo, con un intuizione geometrica è chiaro.
Disegna due punti nel piano. Quali intorni devi considerare per avere intorni disgiunti (ad esempio sfere? quale dev'essere il raggio?)?