Gruppo debolmente/fortemente continuo
Ciao ragazzi,
volevo chiedervi se possibile di spiegarmi la differenza tra gruppi fortemente continui e gruppi debolmente continui. Perché nel caso di gruppi unitari ad un parametro definiti su spazi di hilbert le due definizioni coincidono? Potete farmi degli esempi?
Vi ringrazio anticipatamente. Ciao.
volevo chiedervi se possibile di spiegarmi la differenza tra gruppi fortemente continui e gruppi debolmente continui. Perché nel caso di gruppi unitari ad un parametro definiti su spazi di hilbert le due definizioni coincidono? Potete farmi degli esempi?
Vi ringrazio anticipatamente. Ciao.
Risposte
Questo è un teorema di von Neumann secondo cui un gruppo a un parametro di operatori unitari è "sempre" fortemente continuo (basta che siano verificate ipotesi molto deboli, ovvero che sia misurabile rispetto al parametro, ma queste sono technicalities). Quindi è difficile dare esempi di gruppi unitari che NON sono continui. In fisica i gruppi unitari sono i propagatori di Schrödinger (si chiamano così? intendo gli operatori \(\exp(-itH / \hbar)\) che descrivono l'evoluzione dei sistemi quantistici), e questo teorema ti rassicura sul fatto che essi dipendono "sempre" con continuità dal parametro temporale, il che non guasta.
Puoi trovare l'enunciato formalmente preciso e la dimostrazione di questo teorema sul primo volume del testo Methods of modern mathematical physics di Reed e Simon.
PS (per i mod): Se passa da qui un mod di Geometria per favore sposti l'argomento nella stanza di Analisi.
PS: Grazie per avere spostato.
Puoi trovare l'enunciato formalmente preciso e la dimostrazione di questo teorema sul primo volume del testo Methods of modern mathematical physics di Reed e Simon.
PS (per i mod): Se passa da qui un mod di Geometria per favore sposti l'argomento nella stanza di Analisi.
PS: Grazie per avere spostato.
Ma in generale come faccio a capire se un gruppo è fortemente continuo oppure è debolmente continuo?
Ma se abbiamo appena finito di dire che
un gruppo a un parametro di operatori unitari è "sempre" fortemente continuoBasta che si verifichi una ipotesi molto debole e automaticamente il gruppo è fortemente continuo e quindi, a maggior ragione, debolmente continuo.
no, intendevo un gruppo in generale, senza che sia necessariamente unitario ad un parametro
Un "gruppo in generale" è un oggetto matematico completamente astratto: si tratta di un insieme, che indichiamo con \(G\), dotato di una operazione interna che indichiamo con \(\star\) che verifichi i seguenti assiomi:
[list=1][*:1c6gl4jh]Associatività: per ogni \(g, h, k \in G\), risulta \((g\star h)\star k=g\star(h\star k)\);[/*:m:1c6gl4jh]
[*:1c6gl4jh]Esistenza dell'elemento neutro: esiste un elemento \(e\) (spesso si indica anche \(I, \text{id}\) oppure \(1\)) tale che \(g\star e = e \star g = g\);[/*:m:1c6gl4jh]
[*:1c6gl4jh]Invertibilità: per ogni \(g\in G\) esiste un elemento \(h\in G\) tale che \(g\star h = h \star g =e\).[/*:m:1c6gl4jh][/list:o:1c6gl4jh]
Ad esempio è un gruppo l'insieme dei numeri reali \(\mathbb{R}\) con l'operazione \(+\): in questo caso \(e=0\). Altro gruppo è quello dei numeri reali strettamente positivi \(\mathbb{R}_{>0}\) con l'operazione \(\cdot\), in questo caso \(e=1\). Chiaramente a questo livello di astrazione non ha nessun senso parlare di continuita di alcun tipo.
I gruppi a un parametro di operatori lineari su uno spazio di Hilbert \(H\) sono delle particolari famiglie di operatori lineari indicizzate da un parametro reale e che verifichino le leggi di gruppo rispetto a quest'ultimo: precisamente, la famiglia \(\{T_t\}_{t \in \mathbb{R}}\) di operatori lineari su \(H\) è un gruppo a un parametro di operatori lineari se \(\forall t, s \in \mathbb{R}, T_{t+s}=T_t \circ T_s\), dove \(\circ\) indica la composizione.
Per queste famiglie ha senso parlare di continuità, intendendo continuità rispetto al parametro. La continuità forte significa che per ogni fissato \(\psi \in H\), al tendere di \(t\) a \(t_0\), il vettore \(T_t\psi\) tende a \(T_{t_0}\psi\). La continuità debole significa invece che per ogni fissato \(\psi \in H\), al tendere di \(t\) a \(t_0\) il sandwich \((\varphi, T_t \psi)\) tende a \((\varphi, T_{t_0}\psi)\) per ogni scelta di \(\varphi\). Puoi anche pensare in termini di elementi di matrice: la continuità debole significa che gli elementi di matrice di \(T_t\) si trasformano con continuità.
Quando \(H\) ha dimensione finita, le due nozioni di continuità si equivalgono. Non è banale dimostrare che se il gruppo è unitario le due nozioni si equivalgono ed equivalgono alla misurabilità rispetto al parametro, una nozione di regolarità ancora più debole. Nel caso generale non ho idea di quali teoremi esistano, ce ne saranno sicuramente moltissimi e molto complicati. Se veramente ti servono informazioni su questo argomento estremamente tecnico puoi cercare su Yosida, Functional Analysis, oppure su Engel - Nagel et al., One-parameter semigroups for linear evolution equations.
[list=1][*:1c6gl4jh]Associatività: per ogni \(g, h, k \in G\), risulta \((g\star h)\star k=g\star(h\star k)\);[/*:m:1c6gl4jh]
[*:1c6gl4jh]Esistenza dell'elemento neutro: esiste un elemento \(e\) (spesso si indica anche \(I, \text{id}\) oppure \(1\)) tale che \(g\star e = e \star g = g\);[/*:m:1c6gl4jh]
[*:1c6gl4jh]Invertibilità: per ogni \(g\in G\) esiste un elemento \(h\in G\) tale che \(g\star h = h \star g =e\).[/*:m:1c6gl4jh][/list:o:1c6gl4jh]
Ad esempio è un gruppo l'insieme dei numeri reali \(\mathbb{R}\) con l'operazione \(+\): in questo caso \(e=0\). Altro gruppo è quello dei numeri reali strettamente positivi \(\mathbb{R}_{>0}\) con l'operazione \(\cdot\), in questo caso \(e=1\). Chiaramente a questo livello di astrazione non ha nessun senso parlare di continuita di alcun tipo.
I gruppi a un parametro di operatori lineari su uno spazio di Hilbert \(H\) sono delle particolari famiglie di operatori lineari indicizzate da un parametro reale e che verifichino le leggi di gruppo rispetto a quest'ultimo: precisamente, la famiglia \(\{T_t\}_{t \in \mathbb{R}}\) di operatori lineari su \(H\) è un gruppo a un parametro di operatori lineari se \(\forall t, s \in \mathbb{R}, T_{t+s}=T_t \circ T_s\), dove \(\circ\) indica la composizione.
Per queste famiglie ha senso parlare di continuità, intendendo continuità rispetto al parametro. La continuità forte significa che per ogni fissato \(\psi \in H\), al tendere di \(t\) a \(t_0\), il vettore \(T_t\psi\) tende a \(T_{t_0}\psi\). La continuità debole significa invece che per ogni fissato \(\psi \in H\), al tendere di \(t\) a \(t_0\) il sandwich \((\varphi, T_t \psi)\) tende a \((\varphi, T_{t_0}\psi)\) per ogni scelta di \(\varphi\). Puoi anche pensare in termini di elementi di matrice: la continuità debole significa che gli elementi di matrice di \(T_t\) si trasformano con continuità.
Quando \(H\) ha dimensione finita, le due nozioni di continuità si equivalgono. Non è banale dimostrare che se il gruppo è unitario le due nozioni si equivalgono ed equivalgono alla misurabilità rispetto al parametro, una nozione di regolarità ancora più debole. Nel caso generale non ho idea di quali teoremi esistano, ce ne saranno sicuramente moltissimi e molto complicati. Se veramente ti servono informazioni su questo argomento estremamente tecnico puoi cercare su Yosida, Functional Analysis, oppure su Engel - Nagel et al., One-parameter semigroups for linear evolution equations.
grazie, le tue spiegazioni mi sono state molto utili
perche' le due definizioni di continuita' debole e forte coincidono quando lo spazio di Hilbert e' infinito-dimensionale?
perche' le due definizioni di continuita' debole e forte coincidono quando lo spazio di Hilbert e' infinito-dimensionale?
"lorsalva":Volevo dire "finito-dimensionale".
grazie, le tue spiegazioni mi sono state molto utili
perche' le due definizioni di continuita' debole e forte coincidono quando lo spazio di Hilbert e' infinito-dimensionale?
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