Gruppi ad un parametro e generatori infinitesimali
Inizialmente, volevo postare in Fisica (data la natura un po' border-line della domanda... Poi ho cambiato idea).
Considerate un'equazione autonoma $x' = f(x)$, con $f \in C^1(\Omega)$ ($\Omega \subset RR^n$ dominio). Sotto tali ipotesi sono garantite esistenza e unicità locali per i problemi di Cauchy associati all'equazione.
Ora, supponiamo che tutte le soluzioni con dato iniziale in $\Omega$ siano definite (almeno) sull'intervallo reale $I$. Il flusso dell'equazione è quella funzione $\phi: \Omega \times I \to RR^n$ che associa alla coppia $(x, t)$ il valore della soluzione (del problema di Cauchy con dato iniziale $x(0)=x$) al tempo $t$. E' più o meno chiaro quello che ho detto?
Si può dimostrare (in maniera molto semplice, per altro) che $\phi(x_0,s+t)=\phi(\phi(x_0,s), t)$ (qui è cruciale l'ipotesi che il problema sia autonomo). Inoltre è chiaro che $\phi(x_0, 0)=x_0$ per ogni $x_0 \in\Omega$. Infine, la differenziabilità di $\phi$ rispetto ad entrambe le variabili è nota dai corsi di Equazioni differenziali ordinarie (in $t$ è ovvio, in $x$ sono risultati di dipendenza differenziabile, certamente validi sotto l'ipotesi che $f$ sia $C^1$).
Scriviamo ora $phi_t(x)$ in luogo di $\phi(x,t)$. La domanda è: posso affermare che $phi_t(x)$ è un gruppo ad un parametro di diffeomorfismi? Se sì, posso affermare che $f$ è il suo generatore infinitesimale?
Grazie.
P.S. L'obiettivo di tutto 'sto discorso è capire il benedetto Teorema di Noether della meccanica Lagrangiana. Prima di buttarmi in considerazioni meccaniche ho bisogno di togliermi tutti i dubbi sulle definizioni matematiche.
Considerate un'equazione autonoma $x' = f(x)$, con $f \in C^1(\Omega)$ ($\Omega \subset RR^n$ dominio). Sotto tali ipotesi sono garantite esistenza e unicità locali per i problemi di Cauchy associati all'equazione.
Ora, supponiamo che tutte le soluzioni con dato iniziale in $\Omega$ siano definite (almeno) sull'intervallo reale $I$. Il flusso dell'equazione è quella funzione $\phi: \Omega \times I \to RR^n$ che associa alla coppia $(x, t)$ il valore della soluzione (del problema di Cauchy con dato iniziale $x(0)=x$) al tempo $t$. E' più o meno chiaro quello che ho detto?
Si può dimostrare (in maniera molto semplice, per altro) che $\phi(x_0,s+t)=\phi(\phi(x_0,s), t)$ (qui è cruciale l'ipotesi che il problema sia autonomo). Inoltre è chiaro che $\phi(x_0, 0)=x_0$ per ogni $x_0 \in\Omega$. Infine, la differenziabilità di $\phi$ rispetto ad entrambe le variabili è nota dai corsi di Equazioni differenziali ordinarie (in $t$ è ovvio, in $x$ sono risultati di dipendenza differenziabile, certamente validi sotto l'ipotesi che $f$ sia $C^1$).
Scriviamo ora $phi_t(x)$ in luogo di $\phi(x,t)$. La domanda è: posso affermare che $phi_t(x)$ è un gruppo ad un parametro di diffeomorfismi? Se sì, posso affermare che $f$ è il suo generatore infinitesimale?
Grazie.
P.S. L'obiettivo di tutto 'sto discorso è capire il benedetto Teorema di Noether della meccanica Lagrangiana. Prima di buttarmi in considerazioni meccaniche ho bisogno di togliermi tutti i dubbi sulle definizioni matematiche.
Risposte
"Paolo90":Normalmente in geometria differenziale si richiede che sia \(f\in C^{\infty}(\Omega)\) con \(\Omega\) aperto in \(\mathbb{R}^n\).
...$f \in C^1(\Omega)$ ($\Omega \subset RR^n$ dominio)...
"Paolo90":Molto pesantemente sì; mi hai quasi fatto dimenticare il flusso, dato che l'ho studiato leggiadramente in geometria differenziale!
...E' più o meno chiaro quello che ho detto?...
"Paolo90":Assolutamente no: esso individua il gruppo a un parametro di diffeomorfismi!
...La domanda è: posso affermare che $phi_t(x)$ è un gruppo ad un parametro di diffeomorfismi?...
"Paolo90":Questa è la definizione!
...posso affermare che $f$ è il suo generatore infinitesimale?...
OUT OF SELF Da dove stati studiando il teorema di Noether?
Grazie per la risposta, Armando. Solo una cosa:
Qui avrei dovuto dire $\{\phi_t(\cdot)\}_{t \in \RR}$ è un gruppo ad un parametro, giusto?
Per quanto riguarda Noether, è una lunga storia (abbiamo avuto qualche problema con i corsi di Fisica Matematica). Sul Goldstein è fatto in maniera terribilmente complicata; mi piace come lo fa Arnold e l'ho visto anche alcune dispense di Dubrovin (che forse conosci) e su altre dispense online.
Ora comunque mi pare un po' più chiaro: se ho un sistema meccanico con lagrangiana $L$ e ho un gruppo ad un parametro di diffeo che è una simmetria per $L$ (cioè $L(q,\dot{q})=L(\phi_t(q), d\phi_{t=0}(\dot{q}))$) allora ho un integrale primo, cioè una costante del moto, che è dato da
\[
I(q,\dot{q}):=\frac{\partial L}{ \partial \dot{q}} \frac{\partial \phi_t(q)}{\partial t}\lvert_{t=0}
\]
Provo a dirlo con "parole mie": supponiamo di avere un gruppo ad un parametro di diffeo che sono simmetrie per la lagrangiana. Ne trovo il generatore infinitesimale e poi moltiplico scalarmente tale generatore per il gradiente della lagrangiana rispetto alle $\dot{q}$. Mi scuso per il linguaggio rozzo, è che devo ancora prendere familiarità con queste nozioni.
Ad ogni modo, comunque, è possibile che tra un po' posti qualche esercizio su questi argomenti in Fisica.
Grazie ancora.
"j18eos":Assolutamente no: esso individua il gruppo a un parametro di diffeomorfismi! [/quote]
[quote="Paolo90"]...La domanda è: posso affermare che $phi_t(x)$ è un gruppo ad un parametro di diffeomorfismi?...
Qui avrei dovuto dire $\{\phi_t(\cdot)\}_{t \in \RR}$ è un gruppo ad un parametro, giusto?
Per quanto riguarda Noether, è una lunga storia (abbiamo avuto qualche problema con i corsi di Fisica Matematica). Sul Goldstein è fatto in maniera terribilmente complicata; mi piace come lo fa Arnold e l'ho visto anche alcune dispense di Dubrovin (che forse conosci) e su altre dispense online.
Ora comunque mi pare un po' più chiaro: se ho un sistema meccanico con lagrangiana $L$ e ho un gruppo ad un parametro di diffeo che è una simmetria per $L$ (cioè $L(q,\dot{q})=L(\phi_t(q), d\phi_{t=0}(\dot{q}))$) allora ho un integrale primo, cioè una costante del moto, che è dato da
\[
I(q,\dot{q}):=\frac{\partial L}{ \partial \dot{q}} \frac{\partial \phi_t(q)}{\partial t}\lvert_{t=0}
\]
Provo a dirlo con "parole mie": supponiamo di avere un gruppo ad un parametro di diffeo che sono simmetrie per la lagrangiana. Ne trovo il generatore infinitesimale e poi moltiplico scalarmente tale generatore per il gradiente della lagrangiana rispetto alle $\dot{q}$. Mi scuso per il linguaggio rozzo, è che devo ancora prendere familiarità con queste nozioni.
Ad ogni modo, comunque, è possibile che tra un po' posti qualche esercizio su questi argomenti in Fisica.
Grazie ancora.
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