Gran dubbio su modesto limite

[Mikepicker]

Salve a tutti,

mi trovo a pochi passi dall'esame e mi sono accorto di avere un'incertezza su quanto riguarda le stime asintotiche.. più precisamente mi trovo di fronte al seguente limite:

$lim(x->2+)(2log(x-1)+x^2-6x+8)/(sin^4(\pix)+(x^2-4)^(\alpha))$

dovendo discuterlo al variare di alfa.

Quello che non capisco è come si applica Taylor: perchè non posso fermare il logaritmo al primo ordine?
Una volta posto il seno in questa forma: $sin^4(\pix-2\pi)$ posso approssimare al primo ordine?

Grazie per i chiarimenti

[Seneca1]

Prova a cambiare variabile. $z = x - 2$

[Mikepicker]

Si era sottointeso.. già ho reso il logaritmo nella forma $log(1+(x-2))$.. vi chiedo però il motivo per cui non posso fermarmi al primo ordine

[Seneca1]

"Mikepicker":Salve a tutti,

mi trovo a pochi passi dall'esame e mi sono accorto di avere un'incertezza su quanto riguarda le stime asintotiche.. più precisamente mi trovo di fronte al seguente limite:

$lim(x->2+)(2log(x-1)+x^2-6x+8)/(sin^4(\pix)+(x^2-4)^(\alpha))$

dovendo discuterlo al variare di alfa.

Quello che non capisco è come si applica Taylor: perchè non posso fermare il logaritmo al primo ordine?
Una volta posto il seno in questa forma: $sin^4(\pix-2\pi)$ posso approssimare al primo ordine?

Grazie per i chiarimenti

Se cambi variabile come ti ho scritto, trovi a numeratore:

$2log(z + 1) + z^2 - 2z$


Sostituisci lo sviluppo al prim'ordine:

$log ( 1 + z ) = z + o(z)$

Trovi:

$2z + o(z) + z^2 - 2z$

$z^2 = o(z)$, quindi:

$2z - 2z + o(z)$

Ovvero $o(z)$.

Hai scoperto solamente che il numeratore è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $z$.. Quindi l'approssimazione al prim'ordine non è sufficiente.

[Mikepicker]

Ah dunque il motivo per cui il primo ordine non basta è per il semplice fatto che la potanza di ordine maggiore va via a causa dell'o piccolo con conseguente annullamento del numeratore giusto? Quindi per evitare errori, in che modo mi consiglieresti di usare Taylor?

Il seno al denominatore invece può essere approssimato al primo ordine?

[Seneca1]

"Mikepicker":Ah dunque il motivo per cui il primo ordine non basta è per il semplice fatto che la potanza di ordine maggiore va via a causa dell'o piccolo con conseguente annullamento del numeratore giusto? Quindi per evitare errori, in che modo mi consiglieresti di usare Taylor?

Il seno al denominatore invece può essere approssimato al primo ordine?

Se arresti lo sviluppo troppo presto, rischi di non arrivare al risultato. Se lo sviluppi più del necessario, rischi di portarti avanti conti inutili. Puoi andare per tentativi; nel tuo caso, provando a sostituire lo sviluppo troncato al prim'ordine, non si va da nessuna parte (sei d'accordo?). Dunque rifai il procedimento aggiungendo un termine dello sviluppo e sperando che non si elidano tutti i termini "utili".

L'uso degli o-piccolo aiuta veramente molto in questo frangente.