Grafico trasf.Fourier sinc per treno di impulsi di Dirac
Salve a tutti ragazzi,
posto in questo thread un aiuto riguardante la rappresentazione grafica di una trasformata.
In teoria il dubbio è riguardante un esercizio di telecomunicazioni,ma poiché il tutto si sintetizza nella rappresentazione di una trasformata ho preferito postare qui il mio dubbio.
Devo rappresentare graficamente in modulo e fase la trasformata di Fourier di un segnale $ x(t) $.
Ora,il segnale in questione nel dominio del tempo è un "treno di impulsi rettangolari",la cui trasformata di Fourier viene esattamente :
(riporto qui sotto il segnale nel dominio del tempo e della frequenza rispettivamente)
$X(f)=\sum_{n=-infty}^\infty A tau fo sinc(nftau) =\sum_{n=-infty}^\infty A tau fo sinc(ftau) delta(f-n/T) $. -----------> DOMINIO DELLA FREQUENZA
Quest'ultima è la trasformata della mia funzione in ingresso,la quale risulta essere:
$ x(t)=\sum_{n=-infty}^\infty A rect (t-nT)/tau = A rect (t/tau) \sum_{n=-infty}^\infty delta (t-nT) $
Chiedo scusa se non sono riuscito a trovare il simbolo di convoluzione nella riga sopra tra la funzione rettangolo ed il treno di impulsi
dove A è l'ampiezza del rettangolo, $ tau $ è la sua durata, e T è il periodo.
Dunque,ho un segnale di ingresso nel tempo $ x(t) $ che è un treno di impulsi rettangolari di ampiezza A,durata $ tau $ e centrati in $ nT$, con n che va da meno infinito a + infinito.
Per calcolare la sua trasformata ho utilizzato la relazione della trasformata di Fourier per segnali periodici e ho appunto ottenuto la $ X(f) $ scritta precedentemente.
Forse mi sto dilungando troppo,senza entrare nel dettaglio ho voluto postarvi e commentarvi i miei risultati.
Ora,la mia domanda è la seguente:
la trasformata di Fourier di un rettangolo è proprio la funzione sinc.
E' assai familiare al mio caso,ma diverso in quanto io ho a che fare con un "treno" di rettangoli,o comunque una funzione periodica di periodo T di una costante.
In base a quanto visto per le trasformate di Fourier delle funzioni periodiche sono giunto a questo risultato.
Il segnale $ x(t) $ è dunque dato dalla convoluzione tra un rettangolo ed un treno di impulsi;
Le delte di Dirac,centrate in $ NT $ non fanno altro che traslare la mia funzione (che nel mio caso è situata in banda base) dove sono centrate.
Sostanzialmente ciò che ottengo dunque è una replica del segnale in banda base per $ N T. $
Graficamente la trasformata di Fourier di $ x(t) $ ovvero $ X(f) $, è la funzione sinc che viene considerata "discretamente" (scusate il termine non appropriato,ma è giusto per far rendere l'idea).
Ovvero,la funzione sinc viene "valutata" solamente negli istanti in cui gli impulsi sono centrati.
E' corretto fare questa assunzione??
Ammesso che sia corretto,come può venire il modulo e la fase della mia $ X(f) $ ??
Spero che il thread sia stato inserito nella sezione corretta,ripeto che l'esercizio trattasi di un esercizio di telecomunicazioni ma il dubbio in senso stretto è riguardante un dubbio grafico-analitico; se ci sono dei problemi,chiedo scusa in anticipo e sposto il thread.
posto in questo thread un aiuto riguardante la rappresentazione grafica di una trasformata.
In teoria il dubbio è riguardante un esercizio di telecomunicazioni,ma poiché il tutto si sintetizza nella rappresentazione di una trasformata ho preferito postare qui il mio dubbio.
Devo rappresentare graficamente in modulo e fase la trasformata di Fourier di un segnale $ x(t) $.
Ora,il segnale in questione nel dominio del tempo è un "treno di impulsi rettangolari",la cui trasformata di Fourier viene esattamente :
(riporto qui sotto il segnale nel dominio del tempo e della frequenza rispettivamente)
$X(f)=\sum_{n=-infty}^\infty A tau fo sinc(nftau) =\sum_{n=-infty}^\infty A tau fo sinc(ftau) delta(f-n/T) $. -----------> DOMINIO DELLA FREQUENZA
Quest'ultima è la trasformata della mia funzione in ingresso,la quale risulta essere:
$ x(t)=\sum_{n=-infty}^\infty A rect (t-nT)/tau = A rect (t/tau) \sum_{n=-infty}^\infty delta (t-nT) $
Chiedo scusa se non sono riuscito a trovare il simbolo di convoluzione nella riga sopra tra la funzione rettangolo ed il treno di impulsi
dove A è l'ampiezza del rettangolo, $ tau $ è la sua durata, e T è il periodo.
Dunque,ho un segnale di ingresso nel tempo $ x(t) $ che è un treno di impulsi rettangolari di ampiezza A,durata $ tau $ e centrati in $ nT$, con n che va da meno infinito a + infinito.
Per calcolare la sua trasformata ho utilizzato la relazione della trasformata di Fourier per segnali periodici e ho appunto ottenuto la $ X(f) $ scritta precedentemente.
Forse mi sto dilungando troppo,senza entrare nel dettaglio ho voluto postarvi e commentarvi i miei risultati.
Ora,la mia domanda è la seguente:
la trasformata di Fourier di un rettangolo è proprio la funzione sinc.
E' assai familiare al mio caso,ma diverso in quanto io ho a che fare con un "treno" di rettangoli,o comunque una funzione periodica di periodo T di una costante.
In base a quanto visto per le trasformate di Fourier delle funzioni periodiche sono giunto a questo risultato.
Il segnale $ x(t) $ è dunque dato dalla convoluzione tra un rettangolo ed un treno di impulsi;
Le delte di Dirac,centrate in $ NT $ non fanno altro che traslare la mia funzione (che nel mio caso è situata in banda base) dove sono centrate.
Sostanzialmente ciò che ottengo dunque è una replica del segnale in banda base per $ N T. $
Graficamente la trasformata di Fourier di $ x(t) $ ovvero $ X(f) $, è la funzione sinc che viene considerata "discretamente" (scusate il termine non appropriato,ma è giusto per far rendere l'idea).
Ovvero,la funzione sinc viene "valutata" solamente negli istanti in cui gli impulsi sono centrati.
E' corretto fare questa assunzione??
Ammesso che sia corretto,come può venire il modulo e la fase della mia $ X(f) $ ??
Spero che il thread sia stato inserito nella sezione corretta,ripeto che l'esercizio trattasi di un esercizio di telecomunicazioni ma il dubbio in senso stretto è riguardante un dubbio grafico-analitico; se ci sono dei problemi,chiedo scusa in anticipo e sposto il thread.
Risposte
"merendina_89":
Ovvero,la funzione sinc viene "valutata" solamente negli istanti in cui gli impulsi sono centrati.
E' corretto fare questa assunzione??
Ammesso che sia corretto,come può venire il modulo e la fase della mia $ X(f) $ ??
E' corretto siccome la trasformata della convoluzione di due funzioni è il prodotto delle trasformate.
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