Grafico qualitativo di $y(x)$ sapendo $y^5 +y^3 x^2+1=0$
Devo studiare il grafico qualitativo di $y(x)$ sapendo $y^5(x) +y^3(x) x^2+1=0$, non so se si possono ricavare altre informazioni oltre a quelle che ho già trovato
Per iniziare l'ho riscritta così $ -\frac{1}{y^3}-y^2=x^2$, e poi svolgendo i limiti $x\to\pm\infty$ segue $y(x)\to 0^-$
Inoltre scrivendo $y(x)(y^4(x) +y^2(x) x^2)=-1$ segue $y(x)\le 0$
Dal teorema di Dini $y'(x)=-\frac{2xy(x)}{5y^2(x)+3x^2}$ da cui ho dedotto che $y'(0)=0$ e $y'(x)\ge0$ per $x>0$ e $y'(x)\le0$ per $x<0$
Si può dire altro?
Per iniziare l'ho riscritta così $ -\frac{1}{y^3}-y^2=x^2$, e poi svolgendo i limiti $x\to\pm\infty$ segue $y(x)\to 0^-$
Inoltre scrivendo $y(x)(y^4(x) +y^2(x) x^2)=-1$ segue $y(x)\le 0$
Dal teorema di Dini $y'(x)=-\frac{2xy(x)}{5y^2(x)+3x^2}$ da cui ho dedotto che $y'(0)=0$ e $y'(x)\ge0$ per $x>0$ e $y'(x)\le0$ per $x<0$
Si può dire altro?
Risposte
Ciao SwitchArio,
Beh, io la scriverei anche nella più comoda forma seguente:
$y^3(x^2 + y^2) = - 1 $
Si vede che la funzione proposta ha dominio $D = \RR $, un minimo nel punto $M(0, - 1) $, un asintoto orizzontale di equazione $y = 0 $ e codominio $C = [- 1, 0) $
Beh, io la scriverei anche nella più comoda forma seguente:
$y^3(x^2 + y^2) = - 1 $
Si vede che la funzione proposta ha dominio $D = \RR $, un minimo nel punto $M(0, - 1) $, un asintoto orizzontale di equazione $y = 0 $ e codominio $C = [- 1, 0) $
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