Grafico problema di cauchy
Ciao ragazzi volevo chiedervi come fare il grafico di questo problema:
$ { (y' = (|y|-1)(y+1)cosx), (y(x_0) = y_0):} $
il testo mi dice: siano $ x_0 = y_0 = 0 $ disegnare il grafico in un intorno di $ (0;y(0)) $
Allora io ho innanzitutto determinato che $ y(0) = 0 $ quindi chiede il grafico in un intorno dell'origine. Sapendo che $ y(0) = 0 $ so che passa nell'origine. Poi ho calcolato $ y'(0) = -1 $ quindi so che ho una retta tangente al grafico di inclinazione -45°. Poi differenzio i casi $ y>0 $ e $ y<0 $ e trovo le due derivate seconde che sono:
Per $ y>0 $ ho $ y'' = (y+1)cosx + (y-1)cosx - (y-1)(y+1)sinx $ e determino che $ y''(0) = 0 $
Per $ y<0 $ ho $ y'' = -(y+1)cosx + (-y-1)cosx - (-y-1)(y+1)sinx $ e determino che $ y''(0) = -2 $
e ora? non so come sfruttare l'informazione delle derivate seconde.
$ { (y' = (|y|-1)(y+1)cosx), (y(x_0) = y_0):} $
il testo mi dice: siano $ x_0 = y_0 = 0 $ disegnare il grafico in un intorno di $ (0;y(0)) $
Allora io ho innanzitutto determinato che $ y(0) = 0 $ quindi chiede il grafico in un intorno dell'origine. Sapendo che $ y(0) = 0 $ so che passa nell'origine. Poi ho calcolato $ y'(0) = -1 $ quindi so che ho una retta tangente al grafico di inclinazione -45°. Poi differenzio i casi $ y>0 $ e $ y<0 $ e trovo le due derivate seconde che sono:
Per $ y>0 $ ho $ y'' = (y+1)cosx + (y-1)cosx - (y-1)(y+1)sinx $ e determino che $ y''(0) = 0 $
Per $ y<0 $ ho $ y'' = -(y+1)cosx + (-y-1)cosx - (-y-1)(y+1)sinx $ e determino che $ y''(0) = -2 $
e ora? non so come sfruttare l'informazione delle derivate seconde.
Risposte
Attento quando calcoli la derivata seconda: ricorda che $y=y(x)$ !
NB: càlcolati una sola derivata, basta ricordare che $D[|x|]=|x|/x=x/|x|$
EDIT:
Detto in parole povere, cosa sta facendo la funzione nell'intorno di $x_0$?
NB: càlcolati una sola derivata, basta ricordare che $D[|x|]=|x|/x=x/|x|$
EDIT:
"appa91":
Poi ho calcolato $ y'(0) = -1 $ quindi so che ho una retta tangente al grafico di inclinazione -45°.
Detto in parole povere, cosa sta facendo la funzione nell'intorno di $x_0$?
...decrescendo? Cmq cosa intendi per stare attento quando calcola la derivata seconda e che $ y = y(x) $ ?
"appa91":
...decrescendo?
Certo! - cosa te ne importa dell'inclinazione della retta tangente di -45°?
"appa91":
Cmq cosa intendi per stare attento quando calcola la derivata seconda e che $ y = y(x) $ ?
...voglio dire che le hai calcolate in maniera errata perché $y$ non è una variabile, ma è una funzione dipendente da $x$, e quindi, a titolo d'esempio:
$d/(dx)y ne1$
proprio perché $y=y(x)$.
non l'ho utilizzata come variabile... sono tre prodotti e ho fatto la prima derivata per le altre due no poi la seconda derivata ecc... ma non l'ho utilizzata come variabile.. infatti poi ho sostituito zero per calcolarla in zero.. non capisco dove sia l'errore...
"appa91":
non l'ho utilizzata come variabile...
Sì l'hai scambiata per una variabile
La derivata di una funzione ignota come è $y(x)$ è
$d/(dx)y(x)=y'(x)$ - e non $1$ come hai fatto qui:
"appa91":
Per $ y>0 $ ho $ y'' = (y+1)cosx + (y-1)cosx - (y-1)(y+1)sinx $ e determino che $ y''(0) = 0 $
Per $ y<0 $ ho $ y'' = -(y+1)cosx + (-y-1)cosx - (-y-1)(y+1)sinx $ e determino che $ y''(0) = -2 $
Per darti un ulteriore esempio calcoliamo la derivata di $sin(t)$:
*per $t$ variabile: $d/(dt)sin(t)=cos(t)$
*per $t=t(x)$ funzione: $d/(dx)sin(t(x))=t'(x)cos(t(x))$
Detto questo, quanto vale davvero la derivata seconda?
cioè fammi capire... io ho utilizzato y come fosse x e quindi ho fatto derivata di x è uno. Invece dovevo scrive derivata di y è y' che so essere -1 in 0?
Devi derivare secondo il teorema di derivazione composta $D[f(g(x))]=f'(g(x))cdotg'(x)$. Ti svolgo il primo pezzetto per farti capire:
$D[|y(x)|-1]=y'(x)|y(x)|/(y(x))$
Solo dopo che avrai calcolato la derivata andrai a sostituire i termini che conosci - nel nostro caso $y(0)=0$ e $y'(0)=-1$ - NB: dovrai avvalerti del teorema del limite della derivata.
$D[|y(x)|-1]=y'(x)|y(x)|/(y(x))$
Solo dopo che avrai calcolato la derivata andrai a sostituire i termini che conosci - nel nostro caso $y(0)=0$ e $y'(0)=-1$ - NB: dovrai avvalerti del teorema del limite della derivata.
Allora la derivata dovrebbe venire:
$ y''(x) = y'(x)(|y(x)|/(y(x)))(y(x)+1)cosx + y'(x)(|y(x)|-1)cosx - (|y(x)|-1)(y(x)+1)sinx $
ora dovendo valutare la derivata seconda nell'origine come lo svolgo $ (|y(x)|/(y(x))) $ che sono due infinitesimi di stesso ordine? ah... viene uno
ok.... allora viene:
$ y''(0) = -1+1-0 = 0 $ così è giusta? E adesso per il grafico? ho un flesso in zero e so che è decrescente... e ora? non so come farvi vedere se è giusto come l'ho disegnato...
$ y''(x) = y'(x)(|y(x)|/(y(x)))(y(x)+1)cosx + y'(x)(|y(x)|-1)cosx - (|y(x)|-1)(y(x)+1)sinx $
ora dovendo valutare la derivata seconda nell'origine come lo svolgo $ (|y(x)|/(y(x))) $ che sono due infinitesimi di stesso ordine? ah... viene uno
ok.... allora viene:$ y''(0) = -1+1-0 = 0 $ così è giusta? E adesso per il grafico? ho un flesso in zero e so che è decrescente... e ora? non so come farvi vedere se è giusto come l'ho disegnato...
ho detto una castroneria... il modulo di x non è derivabile nell'origine... quindi quando vado a sostituire nella derivata seconda lo zero come posso fare?
"Brancaleone":
NB: dovrai avvalerti del teorema del limite della derivata.
quindi? faccio due derivate? una da destra e una da sinistra?
Devi solo calcolare i limiti destro e sinistro della derivata seconda...
Ok ho fatto i limiti però sono punto a capo 
Viene:
$ lim_(x->0^+)y''(x) = (-1)+1-0 = 0 $
$ lim_(x->0^-)y''(x) = 1+1-0 = 2 $
Come devo interpretare il fatto che ci siano due derivate seconde diverse? Non ho proprio idea di come disegnare sto grafico...
Viene:
$ lim_(x->0^+)y''(x) = (-1)+1-0 = 0 $
$ lim_(x->0^-)y''(x) = 1+1-0 = 2 $
Come devo interpretare il fatto che ci siano due derivate seconde diverse? Non ho proprio idea di come disegnare sto grafico...
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