Grafico funzione (periodica?)
Salve a tutti, leggendo un testo mi sono imbattuto in questa funzione:
$f(t)=sum_{k=0}^{oo} (3/2)^{-k/2} sin[(3/2)^k*t]$
Ora il problema è il seguente. Il libro mostra il grafico della funzione
La mia domanda è: come si fa a "gestire" $sin(oo)$? Non mi sembra che sia possibile scrivere la somma in maniera differente...Come fa ad esserci convergenza? (spero di essermi spiegato e non aver detto troppo fesserie....
)
Grazie in anticipo a tutti
$f(t)=sum_{k=0}^{oo} (3/2)^{-k/2} sin[(3/2)^k*t]$
Ora il problema è il seguente. Il libro mostra il grafico della funzione
La mia domanda è: come si fa a "gestire" $sin(oo)$? Non mi sembra che sia possibile scrivere la somma in maniera differente...Come fa ad esserci convergenza? (spero di essermi spiegato e non aver detto troppo fesserie....
)Grazie in anticipo a tutti
Risposte
la funzione di Weierstrass continua ovunque e derivabile da nessuna parte ...scusa ho viso il grafico e mim sono emozionato! 
forse si tratta di quella?
forse si tratta di quella?
Grazie mille per la dritta! era nell'introduzione e l'autore si era solo limitato a illustrarla senza però dirne il nome. Effettivamente è lei (viene trattata verso metà libro)! Sai dirmi qualcosa in più?
Sai dirmi qualcosa in più?
Il sapere che una funzione è continua non fornisce alcuna informazione sulla sua derivabilità. Sebbene questo sembri ovvio, le funzioni continue più comuni risultano derivabili in pressochè tutti i punti del dominio, e viene da chiedersi se possa essere vero il risultato del tipo "se $f$ è continua in un intervallo, allora è per forza derivabile salvo al più un numero finito di putni." Si trova facilmente un esempio che contraddice quanto detto, prendendo una funzione che non è derivabile in una successione di punti distiniti. Rimane aperta la possibilità di correggere l'enunciato precedente sostituendo "un numero finito" con "un'infinità numerabile" oppure enuncialro cosi: "se $f$ è continua in unn intervallo allora è per forza derivabile almeno in un punto". Che questo sia falso è abbastanza sorprendente, e lo si dimostra con la teoria delle serie, definiendo una funzione continua in ogni punto di $\RR$ ma non derivabile in alcun punto, detta appunno di Weirstrass, nel modo seguente: per ogni $x\in \RR$
\begin{align}
W(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sin(4^n\pi x)}{\left(\frac{3}{2}\right)^n}.
\end{align}
Rispondo al tuo quesito, relativamente alla convergenza della serie:
per verificare che la serie converge, e dunque che definisce effettivamente una funzione per ogni valore di $x,$ si osserva che la funzione
\[f_n(x)=\sin(4^n\pi x)\qquad\mbox{è} \qquad 4^n\pi-\mbox{lipschitziana}\]
infatti calcolando la derivata si ha
\[f_n(x)=\sin(4^n\pi x)\qquad\to\qquad f'_n(x)=4^n\pi\cos(4^n\pi x)\]
e ricordando che se $f$ è una funzione derivabile su un intervallo $I$ e se $f'$ è limitata, allora $f$ è $L-$lipschitziana dove $$L= \sup|f '|;$$
allora
\begin{align}
\forall n,\,\,\forall x,y,\qquad |f_n(x)-f_n(y)|\le4^n\pi|x-y|;
\end{align}
d'altra parte, abbiamo che $f_n(x)=|\sin(4^n\pi x)|\le1,$ e quindi anche che
\begin{align}
\forall n,\,\,\forall x,y,\qquad |f_n(x)-f_n(y)|\le2;
\end{align}
allora la funzione $W(x)$ definisce effettivamente una funzione.
La dimostrazione della non derivabilità è un pò lunghetta... se ti interssa ...devo andare a cercarla da qualche parte!!!
\begin{align}
W(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sin(4^n\pi x)}{\left(\frac{3}{2}\right)^n}.
\end{align}
Rispondo al tuo quesito, relativamente alla convergenza della serie:
per verificare che la serie converge, e dunque che definisce effettivamente una funzione per ogni valore di $x,$ si osserva che la funzione
\[f_n(x)=\sin(4^n\pi x)\qquad\mbox{è} \qquad 4^n\pi-\mbox{lipschitziana}\]
infatti calcolando la derivata si ha
\[f_n(x)=\sin(4^n\pi x)\qquad\to\qquad f'_n(x)=4^n\pi\cos(4^n\pi x)\]
e ricordando che se $f$ è una funzione derivabile su un intervallo $I$ e se $f'$ è limitata, allora $f$ è $L-$lipschitziana dove $$L= \sup|f '|;$$
allora
\begin{align}
\forall n,\,\,\forall x,y,\qquad |f_n(x)-f_n(y)|\le4^n\pi|x-y|;
\end{align}
d'altra parte, abbiamo che $f_n(x)=|\sin(4^n\pi x)|\le1,$ e quindi anche che
\begin{align}
\forall n,\,\,\forall x,y,\qquad |f_n(x)-f_n(y)|\le2;
\end{align}
allora la funzione $W(x)$ definisce effettivamente una funzione.
La dimostrazione della non derivabilità è un pò lunghetta... se ti interssa ...devo andare a cercarla da qualche parte!!!
Grazie mille Noisemaker. Veramente una bella spiegazione (e soprattutto molto chiara e lineare). Senza alcuna fretta, se potessi, mi interesserebbe anche il discorso della derivabilità che, effettivamente, è la cosa che mi serve maggiormente.
Grazie ancora molto.
Grazie ancora molto.
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