Grafico funzione integrale

[gasx95]

Ciao a tutti :)

Dovrei disegnare il grafico di questa funzione integrale ma l'integrale non riesco a risolverlo e provando anche con i risolutori online mi pare di aver capito che non possa essere risolto.

Mi chiedevo: c'è un modo anche più veloce per disegnare la funzione integrale senza risolvere l'integrale ?
Ho già studiato monotonia e concavità ma non riesco a dimostrare che è dispari e non so come calcolare i limiti per x->+infinito e -infinito della funzione integrale.

Grazie in anticipo :)

[davi02]

Hai la funzione

[math]f : R \to R[/math]

definita da

[math]f(x) = \int\limits_0^{2x}{\dfrac{e^{-t^2}}{1+t^2}\,dt}[/math]

Non c’è modo di esprimere questo integrale in termini di funzioni elementari, ma questo, ai fini dell’esercizio non è necessario. Infatti, applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale, è facile calcolare la funzione derivata

[math]f’(x) = 2\dfrac{e^{-4x^2}}{1+4x^2} [/math]

quindi la derivata seconda.
Ora dovresti sapere come continuare.
Per verificare che

[math]f[/math]

è dispari, sostituisci

[math]t[/math]

con

[math]-t[/math]

nell’integrale.

Per dimostrare che

[math]f[/math]

possiede asintoto orizzontale destro, osserva che

a) poiché

[math]f[/math]

è crescente in

[math]R[/math]

, esiste

[math]\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \sup f[/math]

, finito o infinito;

b) tale limite è finito in quanto

[math]e^{-t^2} \le 1[/math]

per ogni

[math]t[/math]

, quindi per ogni

[math]x \ge 0[/math]

[math]f(x) \le \int\limits_0^{2x}{\dfrac{1}{1+t^2}\,dt} = \arctan(2x) < \dfrac{\pi}{2}[/math]

.