Grafico funzione integrale

[lion21]

Buon giorno a tutti, anche se ho visto che è già stato aperto un apposito thread relativo allo studio di una funzione integrale vi scrivo per sapere se non esista un metodo più rapido per disegnarne il grafico (anche in modo approssimato).
Chiedo questo perchè noi non abbiamo mai fatto lo studio di una funzione integrale in classe ,ma nonostante questo ci viene richiesto di sapere fare il grafico.

In particolare vorrei sapere come risolvere il primo ed il terzo punto del senguente esercizio(anche la risoluzione del secondo punto è ben accetta per vedere se ho fatto giusto)

ESERCIZIO: data la funzione $ F(x)=int_(3)^(x) (e^{-t} -2)/(16-t^2) $

1)Indicare il dominio
2)calcolare il polinomio di taylor di secondo grado centrato nel punto x=3
3)disegnare il grafico della funzione nell'intorno del punto x=3

[lion21]

Per caso nel punto 3 dovrei fare il grafico relativo al polinomio di taylor? se si come?
vi prego un aiutino

[stefano_89]

bè per il primo punto devi solo risolvere: $16 - t^2 = 0$, ti viene $+-4$, ma $-4$, essendo escluso da dominio di integrazione, non ti interessa.
Per il terzo punto non saprei bene come fare, non mi è stato mai chiesto di fare il grafico, però certamente prima dovrai fare lo studio della funzione integrale..

[lion21]

"stefano_89":bè per il primo punto devi solo risolvere: $16 - t^2 = 0$, ti viene $+-4$, ma $-4$, essendo escluso da dominio di integrazione, non ti interessa.
Per il terzo punto non saprei bene come fare, non mi è stato mai chiesto di fare il grafico, però certamente prima dovrai fare lo studio della funzione integrale..

non credo perchè non lo abbiamo mai fatto...o se è da fare è in un modo approssimato credo perchè sarebbe troppo lungo da fare tutto lo studio della funzione integrale rispetto a tutto il resto dell'esame che avevamo da fare.

poi viene richiesto il grafico solo nell'intorno di x=3 e non per tutta la funzione ed inoltre viene chiesto sin seguito al calcolo del polinomio di taylor...quindi, forse, devo partire da qui? se si come?

comunque grazie mille per il dominio veramente
aspetto con fiducia altri suggerimenti per l'ultimo punto!

[lion21]

vi prego aiuto

[gugo82]

@lion21: Provato a dare uno sguardo qui?

[lion21]

"gugo82":@lion21: Provato a dare uno sguardo qui?

si ma come ho detto noi non abbiamo fatto lo studio di una funzione integrale quindi mi chiedevo se fosse possibile fare il grafico partendo dal polinomio di taylor ps ho l'esame domani per favore.

[Zkeggia]

Direi di sì, d'altronde Taylor serve a capire come si comporta la funzione in un intorno di un punto, quindi sviluppando in Taylor ottieni proprio una funzione che tende sempre più precisamente alla funzione che stai studiando...

[lion21]

bene adesso mi rimane solo da sapere come faccio a fare il grafico del polinomio. come si fa? grazie

[gugo82]

"lion21":ESERCIZIO: data la funzione $ F(x)=int_(3)^(x) (e^{-t} -2)/(16-t^2) $

1)Indicare il dominio
2)calcolare il polinomio di taylor di secondo grado centrato nel punto x=3
3)disegnare il grafico della funzione nell'intorno del punto x=3

1) L'integrando [tex]$f(x):=\frac{e^{-x}-2}{16-x^2}$[/tex] è definito e di classe [tex]$C^\infty$[/tex] in [tex]$\mathbb{R} \setminus \{ \pm 4\}$[/tex]; intorno ai punti [tex]$\pm 4$[/tex] esso non è limitato ed è un infinito d'ordine [tex]$1$[/tex], sicché non è sommabile.
Visto che [tex]$3\in ]-4,4[$[/tex] e che l'integrando non è impropriamente integrabile in alcun intervallo avente un estremo in [tex]$3$[/tex] e contenente [tex]$\pm 4$[/tex], il dominio di [tex]$F$[/tex] è [tex]$]-4,4[$[/tex].

Inoltre si ha [tex]$f(x)\geq 0$[/tex] se e solo se [tex]$x\leq -\ln 2 \approx -0.7$[/tex], quindi:

[tex]$\lim_{x\to -4^+} f(x)= +\infty$[/tex] e [tex]$\lim_{x\to 4^-} f(x)=-\infty$[/tex],

cosicché risulta:

[tex]$\lim_{x\to 4^-} F(x)=\lim_{x\to 4^-} \int_3^x \frac{e^{-t}-2}{16-t^2}\ \text{d} t=-\infty$[/tex]

[tex]$\lim_{x\to -4^+} F(x)=\lim_{x\to -4^+} -\int_x^3 \frac{e^{-t}-2}{16-t^2} \ \text{d} t =-(+\infty) =-\infty$[/tex];

la derivata prima di [tex]$F$[/tex] è:

[tex]$F^\prime (x)=f(x)=\frac{e^{-x}-2}{16-x^2}$[/tex]

sicché [tex]$F$[/tex] cresce in [tex]$]-4,-\ln 2]$[/tex] e decresce in [tex]$[-\ln 2, 4[$[/tex]; il punto [tex]$x=-\ln 2$[/tex] è di massimo stretto ed, avendosi [tex]$f(x)\leq 0$[/tex] in [tex]$[-\ln 2,3]$[/tex], riesce:

[tex]$F(-\ln 2) =\int_3^{-\ln 2} \frac{e^{-t}-2}{16-t^2}\ \text{d} t =-\int_{-\ln 2}^3 \frac{e^{-t}-2}{16-t^2} \ \text{d} t >0$[/tex].

Queste informazioni sono più che sufficienti per disegnare un grafico approssimato globale di [tex]$F$[/tex] in [tex]$]-4,4[$[/tex].

2) Basta determinare [tex]$F(3)$[/tex] e le derivate [tex]$F^\prime (3), F^{\prime \prime} (3)$[/tex] che servono a calcolare i coefficienti dello sviluppo.
Evidentemente:

[tex]$F(3)=0$[/tex]
[tex]$F^\prime (3)=f(3)=\tfrac{e^{-3}-2}{16-9} =\tfrac{1-2e^3}{7e^3}$[/tex]
[tex]$F^{\prime \prime} (3)=f^\prime (3) =-\tfrac{1+12e^3}{49e^3}$[/tex] (qui servono un po' di conti...)

quindi il polinomio è:

[tex]$P(x)=\tfrac{1-2e^3}{7e^3}\ (x-3) -\tfrac{1}{2}\ \tfrac{1+12e^3}{49e^3}\ (x-3)^2$[/tex].

3) In prima approssimazione, il grafico si confonde con la retta d'equazione [tex]$y=\tfrac{1-2e^3}{7e^3}\ (x-3)$[/tex] (che è la retta tangente al grafico in [tex]$(3,0)$[/tex]), e tanto basta.
Ah, [tex]$\tfrac{1-2e^3}{7e^3} \approx -0.3$[/tex].


Per il grafico di [tex]$P(x)$[/tex] basta tener presente che esso è una parabola.
Però mi sento di fare una nota circa l'approssimazione di [tex]$F(x)$[/tex] con [tex]$P(x)$[/tex]: tieni presente che l'approssimazione di Taylor vale solo localmente intorno al centro dello sviluppo.
Il caso trattato qui è un esempio emblematico del carattere locale dell'approssimazione: invero il grafico di [tex]$P(x)$[/tex] è un parabola, mentre il grafico di [tex]$F(x)$[/tex] presenta due asintoti verticali.