Grafico funzione in due variabili
In questa discussione dell'altro giorno veniva presa in considerazione la seguente funzione in due variabili:
$f(x,y)=(2xy)/(x^2+y^2)$
temo che l'utente non sia più interessata all'argomento, ma ho lo stesso immaginato il grafico e vorrei sapere se è corretto, qualcuno mi controlla?
Il domionio è tutto $R^2$ tranne $O(0,0)$, perchè in tal punto si annulla il denominatore.
Al denominatore, se escludiamo l'origine, abbiamo valori sempre positivi e sempre più grandi via via che ci allontaniamo da $O$;
al numeratore invece avremo valori positivi nel I e III quadrante, e negativi nel II e IV, uguale a 0 lungo gli assi coordinati
Poi comincio a pensare a come si comporta la nostra funzione via via che si allontana dall'origine e controllo cosa succede in corrispondenza delle bisettrici $y=x$ e $y=-x$, dove ritengo di trovare i valori massimi e minimi, e mi accorgo che lungo la prima vale sempre 1 e lungo la seconda -1.
Poi provo a segare il grafico con cilindri di raggio via via più grande e mi accorgo che l'intersezione è una curva che raggiunge una quota massima 1 (quando x=y) e una minima di -1(quando x=-y), la quota 0 si ha in corrispondenza dell'intersezione con gli assi coordinati.
Mi sento di concludere che la funzione è limitata inferiormente (-1) e superiormente (+1).
Concludo cercando di capire cosa succede nell'origine: temo che non sia prolungabile in questo punto, perchè se raggiungo l'origine percorrendo gli assi coordinati tendo a 0, mentre se mi avvicino lungo le bisettrici in un caso ottengo -1 e nell'altro +1.
$f(x,y)=(2xy)/(x^2+y^2)$
temo che l'utente non sia più interessata all'argomento, ma ho lo stesso immaginato il grafico e vorrei sapere se è corretto, qualcuno mi controlla?
Il domionio è tutto $R^2$ tranne $O(0,0)$, perchè in tal punto si annulla il denominatore.
Al denominatore, se escludiamo l'origine, abbiamo valori sempre positivi e sempre più grandi via via che ci allontaniamo da $O$;
al numeratore invece avremo valori positivi nel I e III quadrante, e negativi nel II e IV, uguale a 0 lungo gli assi coordinati
Poi comincio a pensare a come si comporta la nostra funzione via via che si allontana dall'origine e controllo cosa succede in corrispondenza delle bisettrici $y=x$ e $y=-x$, dove ritengo di trovare i valori massimi e minimi, e mi accorgo che lungo la prima vale sempre 1 e lungo la seconda -1.
Poi provo a segare il grafico con cilindri di raggio via via più grande e mi accorgo che l'intersezione è una curva che raggiunge una quota massima 1 (quando x=y) e una minima di -1(quando x=-y), la quota 0 si ha in corrispondenza dell'intersezione con gli assi coordinati.
Mi sento di concludere che la funzione è limitata inferiormente (-1) e superiormente (+1).
Concludo cercando di capire cosa succede nell'origine: temo che non sia prolungabile in questo punto, perchè se raggiungo l'origine percorrendo gli assi coordinati tendo a 0, mentre se mi avvicino lungo le bisettrici in un caso ottengo -1 e nell'altro +1.
Risposte
Sì, direi che non ci sono errori ( o meglio, non hai scritto tutte le formule usando il codice 
)
Per la limitatezza si può fare molto più velocemente,
sfruttando il fatto che per ogni $(x,y) in RR^2$ si ha $|2xy|<=x^2+y^2$.
Da questo si deduce subito che $|f(x,y)| = |2xy|/(x^2+y^2) <= 1$
)Per la limitatezza si può fare molto più velocemente,
sfruttando il fatto che per ogni $(x,y) in RR^2$ si ha $|2xy|<=x^2+y^2$.
Da questo si deduce subito che $|f(x,y)| = |2xy|/(x^2+y^2) <= 1$
grazie g8, praticamente in tempo reale.
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