Grafico funzione esponenziale complessa

[billytalentitalianfan]

Su ogni testo è scritto che la funzione complessa di variabile reale $x(t)=|C|e^(\alpha*t)*e^(i*(\omega_0*t+\theta))$ (dove $\alpha,\omega_0,\theta $ sono reali) ha come grafico una sinusoide con inviluppo esponenziale (crescente se $\alpha>0$ ) cioè qualcosa di simile a quello di $f(x)=e^x*sin(x)$; non ho capito in quale piano la funzione abbia quel grafico né come si passi dalla funzione al suo grafico.

[billytalentitalianfan]

Che sia semplicemente il grafico della sua parte reale?

[dissonance]

"billytalentitalianfan":Che sia semplicemente il grafico della sua parte reale?

Secondo me è così. Di cosa si sta parlando? Se si sta parlando di oscillatori allora è sicuramente così.

[ciampax]

"billytalentitalianfan":Che sia semplicemente il grafico della sua parte reale?

Semmai di quella immaginaria.

[billytalentitalianfan]

Qualitativamente parte reale e parte immaginaria hanno lo stesso andamento..ma sì: seno e coseno sono due funzioni diverse.
Grazie ad entrambi.

[valentina921]

scusate se mi intrometto, ho appena iniziato analisi complessa e ho ancora un po' di difficoltà ad entrare nella mentalità del piano complesso; so che la funzione esponenziale complessa $e^z$ , al contrario di quella reale, è periodica e ha periodo $2\pi i$ , ma non riesco proprio a visualizzare questa cosa! Non riesco a trovare una spiegazione che mi aiuti, perché probabilmente è una cosa banale e tutti i libri, ecc. lo danno per scontato, ma così non riesco a risolvere il mio dubbio! Grazie in anticipo!!

[Zero87]

"valentina92":scusate se mi intrometto, ho appena iniziato analisi complessa e ho ancora un po' di difficoltà ad entrare nella mentalità del piano complesso; so che la funzione esponenziale complessa $e^z$ , al contrario di quella reale, è periodica e ha periodo $2\pi i$ , ma non riesco proprio a visualizzare questa cosa! Non riesco a trovare una spiegazione che mi aiuti, perché probabilmente è una cosa banale e tutti i libri, ecc. lo danno per scontato, ma così non riesco a risolvere il mio dubbio! Grazie in anticipo!!

Pensa alla formula di Eulero e alla sua estensione con le proprietà delle potenze:
$e^z = e^x (cos(y)+i sin(y))$, dove $z= x+iy$ ($x$ è la parte reale, mentre $y$ è la immaginaria).

Fissa un certo valore per $x$, quello che vuoi. Chiamiamolo $x_0$ tanto per far capire che è una quantità fissata.

A questo punto considera tutti gli $z= x_0 +i y$ al variare di $y$, cioè tutti i complessi con parte reale $x_0$, hai
$e^z = e^(x_0) (cos(y) + i sin(y))$
Da questa puoi vedere che
- $e^(x_0)$ è una quantità reale fissa (si ricava una volta fissato $x_0$)
- al variare di $y$ la quantità tra parentesi è limitata e ha un periodo $2\pi$, quindi si ripete ogni $2\pi$ al variare di $y$

Ora, la mia spiegazione è abbastanza matematico-maccheronica.
Per esempio, il fatto che $e^z$ ha periodo $2\pi i$ andrebbe dimostrato rigorosamente (l'ho visto come teorema)...

[valentina921]

grazie; in effetti a volte le spiegazioni "maccheroniche" sono quelle più chiare.