Grafico equazione differenziale
Salve, ho questa eq. differenziale di cui, fra le altre cose, devo determinare il grafico.
L'eq. è questa:
\(\displaystyle y' = \frac {3t^{2} +4t+2}{2(y-1)} \)
Di cui ho:
trovato il dominio che è nella forma \(\displaystyle RXR* \), dove \(\displaystyle R* := R - \) {\(\displaystyle 1 \)}, non essendo del tipo \(\displaystyle IXR \) non vale l'unicità globale, ma solo quella locale; non ci sono solv. stazionarie;
E' a variabili separabili e la solv generale è : \(\displaystyle y(t) = 1 \pm \sqrt{t^{3} +2t^{2} +2t +1 +c} +1 \);
ora devo disegnare il grafico, al variare di c;
ciò che ho fatto io è questo:
- Per \(\displaystyle c= 0 \), pongo \(\displaystyle t^{3} +2t^{2} +2t +1 \geq 0 \) che è vero se solo se \(\displaystyle t \geq -1 \), quindi trovo l'intervallo \(\displaystyle (-1, + \infty) \) quando \(\displaystyle c=0 \);
- Per \(\displaystyle c > 0 \), pongo \(\displaystyle t^{3} +2t^{2} +2t +1+c \geq 0 \), cioè \(\displaystyle (t+1)(t^{2} +t +1) +c \geq 0 \) : c è una quantità positiva, allora deve essere \(\displaystyle t+1 > -c \), cioè: \(\displaystyle t>-1-c \), ho quindi l'intervallo per \(\displaystyle t \) pari a \(\displaystyle (-1-c, +\infty) \)
- Per \(\displaystyle c<0 \), pongo \(\displaystyle t^{3} +2t^{2} +2t +1+c \geq 0 \), cioè \(\displaystyle (t+1)(t^{2} +t +1) +c \geq 0 \): dove deve essere \(\displaystyle t> -1-c \) e \(\displaystyle t^{2} +t +1 +c >0 \) da cui ottengo che:\(\displaystyle t_c = \frac{-1 \pm \sqrt{-4c-3}}{2} \) con \(\displaystyle c < \frac{-3}{4} \) ottenendo così l'intervallo di esistenza di \(\displaystyle t \) tale che: \(\displaystyle t \in (\frac{-1 - \sqrt{-4c-3}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{-4c-3}}{2}) \) e \(\displaystyle t \in (-1-c, +\infty) \)
Non ho ancora disegnato il grafico, ma l'impostazione del ragionamento per trovare il grafico è esatta?
questi esercizi sono tutti diversi fra loro, almeno per la ricerca del grafico, quindi tentenno sempre sulla loro risoluzione..
L'eq. è questa:
\(\displaystyle y' = \frac {3t^{2} +4t+2}{2(y-1)} \)
Di cui ho:
trovato il dominio che è nella forma \(\displaystyle RXR* \), dove \(\displaystyle R* := R - \) {\(\displaystyle 1 \)}, non essendo del tipo \(\displaystyle IXR \) non vale l'unicità globale, ma solo quella locale; non ci sono solv. stazionarie;
E' a variabili separabili e la solv generale è : \(\displaystyle y(t) = 1 \pm \sqrt{t^{3} +2t^{2} +2t +1 +c} +1 \);
ora devo disegnare il grafico, al variare di c;
ciò che ho fatto io è questo:
- Per \(\displaystyle c= 0 \), pongo \(\displaystyle t^{3} +2t^{2} +2t +1 \geq 0 \) che è vero se solo se \(\displaystyle t \geq -1 \), quindi trovo l'intervallo \(\displaystyle (-1, + \infty) \) quando \(\displaystyle c=0 \);
- Per \(\displaystyle c > 0 \), pongo \(\displaystyle t^{3} +2t^{2} +2t +1+c \geq 0 \), cioè \(\displaystyle (t+1)(t^{2} +t +1) +c \geq 0 \) : c è una quantità positiva, allora deve essere \(\displaystyle t+1 > -c \), cioè: \(\displaystyle t>-1-c \), ho quindi l'intervallo per \(\displaystyle t \) pari a \(\displaystyle (-1-c, +\infty) \)
- Per \(\displaystyle c<0 \), pongo \(\displaystyle t^{3} +2t^{2} +2t +1+c \geq 0 \), cioè \(\displaystyle (t+1)(t^{2} +t +1) +c \geq 0 \): dove deve essere \(\displaystyle t> -1-c \) e \(\displaystyle t^{2} +t +1 +c >0 \) da cui ottengo che:\(\displaystyle t_c = \frac{-1 \pm \sqrt{-4c-3}}{2} \) con \(\displaystyle c < \frac{-3}{4} \) ottenendo così l'intervallo di esistenza di \(\displaystyle t \) tale che: \(\displaystyle t \in (\frac{-1 - \sqrt{-4c-3}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{-4c-3}}{2}) \) e \(\displaystyle t \in (-1-c, +\infty) \)
Non ho ancora disegnato il grafico, ma l'impostazione del ragionamento per trovare il grafico è esatta?
questi esercizi sono tutti diversi fra loro, almeno per la ricerca del grafico, quindi tentenno sempre sulla loro risoluzione..
Risposte
Mi sembra ci sia un errore nella soluzione generale, alla fine c'è un +1 che non mi torna
Hai fatto i campi di esistenza, mi sembra siano corretti, ora però devi disegnare le curve
Hai fatto i campi di esistenza, mi sembra siano corretti, ora però devi disegnare le curve
"mazzarri":
Mi sembra ci sia un errore nella soluzione generale, alla fine c'è un +1 che non mi torna
Hai fatto i campi di esistenza, mi sembra siano corretti, ora però devi disegnare le curve
vero, c'è un +1 che non c'entra xD ottimo allora
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