Grafico di una funzione senza la derivata
Buongiorno,
Dovrei analizzare questa funzione: y=$x^cosx$, $x>=0$
Ho cercato di analizzarne il comportamento suddividendola in intervalli di ampiezza $\pi$/2, per poi generalizzare il risultato. Non capisco come si possono dedurre i suoi massimi e minimi dato che la sua derivata prima non si può studiare agevolmente. Avevo pensato di considerare la variazione dell'esponente in base alla crescenza/decrescenza e convessità/concavità della funzione cosx ma non riesco a venirne a capo.
Vi ringrazio.
Dovrei analizzare questa funzione: y=$x^cosx$, $x>=0$
Ho cercato di analizzarne il comportamento suddividendola in intervalli di ampiezza $\pi$/2, per poi generalizzare il risultato. Non capisco come si possono dedurre i suoi massimi e minimi dato che la sua derivata prima non si può studiare agevolmente. Avevo pensato di considerare la variazione dell'esponente in base alla crescenza/decrescenza e convessità/concavità della funzione cosx ma non riesco a venirne a capo.
Vi ringrazio.
Risposte
io quello che riesco a vedere è che $ lim_(x -> 0^+) f(x)=0 $ , che la funzione assume infinite volte valore $1$, che il moto è oscillatorio non armonico, con infiniti massimi e minimi relativi
le oscillazioni sono amplificate
le oscillazioni sono amplificate
Ho capito, dovendo assumere infinite volte valore 1, dovrà necessariamente oscillare. Posso dire che le oscillazioni sono amplificate perché la base cresce, a parità di "esponente periodico"?
sì
Ti ringrazio. Proverò ad applicare lo stesso approccio alle altre funzioni che devo analizzare.
Aggiungo che la funzione è compresa tra $1/x$ ed $x$ per $x>=1$ ed i massimi [risp. minimi] lì dove $cos x = 1$ [risp. $=-1$].
Giusto, non ci avevo pensato.
Ne avrei un'altra: $y=(cos(x/(1+x^2)))(x^x)$ con $x>0$
Ho studiato separatamente i due fattori, deducendo che la funzione avrà un minimo relativo ed assoluto compreso tra 0 e 1. Non so però come dimostrare che questo è il suo unico punto stazionario.
Ne avrei un'altra: $y=(cos(x/(1+x^2)))(x^x)$ con $x>0$
Ho studiato separatamente i due fattori, deducendo che la funzione avrà un minimo relativo ed assoluto compreso tra 0 e 1. Non so però come dimostrare che questo è il suo unico punto stazionario.
Come fa quella roba lì ad avere minimo assoluto se per $x -> +oo$ essa non è limitata né inferiormente né superiormente?
Il mio ragionamento era che entrambi i fattori sono positivi nel dominio assegnato, il limite destro in 0 mi risultava uguale ad 1 ma la funzione assume anche valori minori di 1, quindi mi aspettavo, visto il limite a + infinito, che ammettesse un minimo assoluto.
L'esercizio è anche una buona occasione per passare ai logaritmi naturali...sapendo che la funzione avrà i medesimi massimi e minimi per i medesimi valori di x.
Ma le ultime considerazioni che ho fatto sono giuste?
"mida":
Ma le ultime considerazioni che ho fatto sono giuste?
Prova passare a $ln[y(x)]=u(x)=cos(x)ln(x)$ e tutto sarà lampante
Chiedo scusa, mi riferivo a questa:
"mida":
Giusto, non ci avevo pensato.
Ne avrei un'altra: $y=(cos(x/(1+x^2)))(x^x)$ con $x>0$
Ho studiato separatamente i due fattori, deducendo che la funzione avrà un minimo relativo ed assoluto compreso tra 0 e 1. Non so però come dimostrare che questo è il suo unico punto stazionario.
@mida
Ecco perchè nel regolamento si chiede di aprire un thread per ogni esercizio...
Mostra prima che entrambe hanno un minimo fra $01$
Per $x^x$ è facilissimo.
Per il coseno io porrei $x/(1+x^2)=theta$ e mostrerei che (per $x>0$) il discriminante dell'equazione è reale solo per $0
Ecco perchè nel regolamento si chiede di aprire un thread per ogni esercizio...
Mostra prima che entrambe hanno un minimo fra $0
Per $x^x$ è facilissimo.
Per il coseno io porrei $x/(1+x^2)=theta$ e mostrerei che (per $x>0$) il discriminante dell'equazione è reale solo per $0
Chiedo scusa se ho postato un altro esercizio, non ci avevo pensato. 
Avevo fatto lo studio separato di entrambi i fattori e mi ritrovo nelle considerazioni che hai fatto, solo non capisco se si può dimostrare che c'è un solo punto stazionario, il minimo assoluto appunto, o ce ne possono essere anche altri.
Avevo fatto lo studio separato di entrambi i fattori e mi ritrovo nelle considerazioni che hai fatto, solo non capisco se si può dimostrare che c'è un solo punto stazionario, il minimo assoluto appunto, o ce ne possono essere anche altri.
@mida ti ho fatto vedere che la funzione coseno del problema è strettamente crescente dopo $x=1$ e la funzione $x^x$ lo è altrettanto (e dovresti essere in grado di dimostrarlo in mezza riga usando la definizione).
Il prodotto di due funzioni monotone crescenti positive è una funzione monotona crescente positiva, ergo non ci sono più minimi o massimi...va a $+oo$
Il prodotto di due funzioni monotone crescenti positive è una funzione monotona crescente positiva, ergo non ci sono più minimi o massimi...va a $+oo$
Scusami ma mi sono spiegata male o non ho capito o probabilmente tutte e due le cose.
A me il primo fattore risulterebbe decrescente in (0,1) e crescente per x>1; il secondo decrescente in (0, 1/e) e crescente successivamente. Il mio dubbio riguarda il comportamento della funzione nell'intervallo (1/e,1) in cui i due fattori hanno andamento diverso.
A me il primo fattore risulterebbe decrescente in (0,1) e crescente per x>1; il secondo decrescente in (0, 1/e) e crescente successivamente. Il mio dubbio riguarda il comportamento della funzione nell'intervallo (1/e,1) in cui i due fattori hanno andamento diverso.
Ti sei spiegata bene @mida
Non ho trovato un modo per provare che la funzione abbia un solo minimo.
All'inizio mi pareva semplice poi mi sono confutato ripetutamente...e non aiutano i teoremi (almeno quelli che mi sono venuti in mente) ne il rapporto fra funzioni.
Sentiamo altri pareri.
Non ho trovato un modo per provare che la funzione abbia un solo minimo.
All'inizio mi pareva semplice poi mi sono confutato ripetutamente...e non aiutano i teoremi (almeno quelli che mi sono venuti in mente) ne il rapporto fra funzioni.
Sentiamo altri pareri.
Perfetto, ti ringrazio.
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