Grafico derivata
Se mi viene dato SOLO il grafico di una funzione come posso fare un disegno approssimativo della sua derivata giusto per capire l'andamento?
Risposte
"ezio1400":
Se mi viene dato SOLO il grafico di una funzione come posso fare un disegno approssimativo della sua derivata giusto per capire l'andamento?
Approssimato... è positiva quando la funzione di partenza cresce e negativa quando decresce, poi così non so dirti, magari posta un caso pratico.
Un esempio pratico, in effetti, permetterebbe di aiutarti in maniera più precisa...
Comunque, oltre a quello che ti ha detto Zero87, nota che:
- Ad ogni massimo o minimo finito della funzione potrebbe corrispondere, per il teorema di Fermat, un punto critico
- I flessi a tangente orizzontale della funzione sono, di fatto, punti critici anch'essi
- Ogni flesso a tangente verticale, punto angoloso o cuspide della funzione corrisponde ad un punto in cui la derivata non esiste, e precisamente: per un punto angoloso, la derivata avrà una discontinuità di prima o di seconda specie; per una cuspide, avrà una discontinuità di seconda specie con limiti da destra e da sinistra discordi; per un flesso a tangente verticale, avrà una discontinuità di seconda specie con limiti da destra e da sinistra concordi.
Comunque, oltre a quello che ti ha detto Zero87, nota che:
- Ad ogni massimo o minimo finito della funzione potrebbe corrispondere, per il teorema di Fermat, un punto critico
- I flessi a tangente orizzontale della funzione sono, di fatto, punti critici anch'essi
- Ogni flesso a tangente verticale, punto angoloso o cuspide della funzione corrisponde ad un punto in cui la derivata non esiste, e precisamente: per un punto angoloso, la derivata avrà una discontinuità di prima o di seconda specie; per una cuspide, avrà una discontinuità di seconda specie con limiti da destra e da sinistra discordi; per un flesso a tangente verticale, avrà una discontinuità di seconda specie con limiti da destra e da sinistra concordi.
L'esercizio mi chiede
Trova il grafico della derivata della funzione che è stata rappresentata qui a destra
questo è il grafico:
Come suggerimento mi chiede di calcolare i valori dei coefficienti angolari in diversi punti del grafico della funzione f.
Il problema e che senza darmi la formula della funzione io non so come calcolarli.
Trova il grafico della derivata della funzione che è stata rappresentata qui a destra
questo è il grafico:
Come suggerimento mi chiede di calcolare i valori dei coefficienti angolari in diversi punti del grafico della funzione f.
Il problema e che senza darmi la formula della funzione io non so come calcolarli.
Ma si possono stimare facilmente ... cos'è la derivata "geometricamente" ? Il valore della tangente nel punto considerato ...
Per fare un esempio, nell'intervallo $(0,1)$ la curva è "abbastanza" lineare perciò la derivata sarà "abbastanza" costante e possiamo vedere che ad uno spostamento orizzontale di $1$ abbiamo uno spostamento verticale di circa $-2.5$ perciò il coefficiente angolare in quel tratto (alias derivata) sarà pari a $-2.5$ e cos' via ...
Cordialmente, Alex
Per fare un esempio, nell'intervallo $(0,1)$ la curva è "abbastanza" lineare perciò la derivata sarà "abbastanza" costante e possiamo vedere che ad uno spostamento orizzontale di $1$ abbiamo uno spostamento verticale di circa $-2.5$ perciò il coefficiente angolare in quel tratto (alias derivata) sarà pari a $-2.5$ e cos' via ...
Cordialmente, Alex
Nota che la tua funzione ha due punti estremanti: $x_m=3$ e $x_M = -3$. Tali punti non sono - evidentemente, visto il grafico - punti di non derivabilità, quindi per loro vale il teorema di Fermat, e dunque si ha $f'(x_m)=f'(x_M)=0$. Inoltre, è evidente che $f'(x)$ è positiva in $(-\infty, -3]$ e $[3,+\infty)$ e negativa negli intervalli rimanenti.
Nota poi che la tua funzione è dispari: $f(x) = -f(-x)$, $\forall x in domf$. Ciò vuol dire che la derivata sarà pari, e che dunque varrà $f'(x) = f'(-x)$, $\forall x in domf'$.
Nota, ancora, che la tua funzione è concava per $x<0$, e che dunque nell'intervallo $(-\infty, 0)$ si ha $f''(x) <= 0$, che vuol dire, visto che $f''(x) = D(f'(x))$, che in tale intervallo $f'(x)$ sarà decrescente. Analogamente, essa sarà crescente in $[0,+\infty)$. Ciò implica che $f'(x)$ avrà un minimo in $x=0$.
Visto tutto ciò, ipotizzo che la derivata della tua funzione abbia un grafico qualitativo simile a quello in foto (che ho realizzato rapidamente a mano libera).
Nota poi che la tua funzione è dispari: $f(x) = -f(-x)$, $\forall x in domf$. Ciò vuol dire che la derivata sarà pari, e che dunque varrà $f'(x) = f'(-x)$, $\forall x in domf'$.
Nota, ancora, che la tua funzione è concava per $x<0$, e che dunque nell'intervallo $(-\infty, 0)$ si ha $f''(x) <= 0$, che vuol dire, visto che $f''(x) = D(f'(x))$, che in tale intervallo $f'(x)$ sarà decrescente. Analogamente, essa sarà crescente in $[0,+\infty)$. Ciò implica che $f'(x)$ avrà un minimo in $x=0$.
Visto tutto ciò, ipotizzo che la derivata della tua funzione abbia un grafico qualitativo simile a quello in foto (che ho realizzato rapidamente a mano libera).
Ok grazie a tutti!
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