Grafico del sup di una funzione definita a tratti

[irizar1]

Buonasera a tutti. Ho questo esercizio che non riesco a concludere.
Siano
$$
f(x)=\begin{cases}
-\frac{x}{x+2} \text{ se } x\geq 0\\
4x(1+x) \text{ se } -2 -2 \text{ se } x\leq 2
\end{cases}$$
$$
g(t)=sup\{f(x)|x>t\}
$$
Tracciare un grafico di f e g.

Non ho problemi a rappresentare il grafico di f ma non saprei come procedere per il grafico di g.
Potreste cortesemente aiutarmi?
Grazie in anticipo

[Mephlip]

Prova a fissare dei valori di $t$ per capire un po' come vanno le cose e scrivi qui i tuoi ragionamenti. Così vediamo insieme cosa ti blocca e cosa invece è corretto. Inoltre, l'ultima condizione su $f$ è $x \le -2$ e non $x \le 2$.

[irizar1]

Ok, grazie. Ci provo.
Per $x\leq -2$ la funzione è costante e direi che $g(t)=-2$; per $x\geq 0$, il sup mi sembra essere f(t); per $-2-1/2$ il sup è 0.
Ma non sono affatto sicuro che ciò abbia senso e mi scuso in anticipo.
Grazie mille per l'aiuto

[Mephlip]

Prego! Non devi scusarti di nulla, ci mancherebbe; hai mostrato i tuoi sforzi e non c'è niente di cui scusarsi.

Per $x \le -2$ è vero che la funzione è costante, ma il tuo estremo superiore è una funzione di $t$ e la dipendenza da $t$ è nella disuguaglianza $x>t$. A sua volta, $f$ dipende dalla disuguaglianza $x>t$. Facciamo un esempio esplicito: se $t \ge 0$, allora $x>t$ implica $x>0$ e quindi $f(x)=-\frac{x}{x+2}$. Dunque, se $t>0$, per decrescente monotonia di $x \mapsto -\frac{x}{x+2}$ sui positivi risulta:
$$g(t)=\sup_{x>t} f(x)=\sup_{x>t}\left(-\frac{x}{x+2}\right)=-\frac{t}{t+2}$$
E quindi, per $t>0$ rappresentare il grafico di $g$ coincide con rappresentare il grafico di $t\mapsto -\frac{t}{t+2}$.
Per $t<0$ devi distinguere dei casi. Ad esempio, se $t \ge -2$ è $x> -2$ e quindi hai due espressioni per $f$; perciò, devi discutere l'estremo superiore tenendo conto del fatto che c'è questa suddivisione in casi). Ora hai un esempio esplicito di come si approccia; prova a concludere e spero che sia stato d'aiuto. Chiaramente, se hai altri dubbi scrivi pure qui!

P.S.: Occhio che quando scrivi nelle formule il maggiore stretto seguito dal segno meno, ti scrive il simbolo "$>-$" anziché scriverti "$> -$". Per ovviare ciò, lascia sempre uno spazio dopo il simbolo di maggiore stretto e prima del segno meno.

[irizar1]

Grazie mille per la spiegazione davvero molto chiara. Riconosco proprio i miei limiti nel comprendere la richiesta dell'esercizio. Provo a considerare il caso $t<0$.
Se $t<0$ e $x>t$ posso avere il caso in cui $t\geq -2$ e quindi, poichè $x>t$, si ha $x> -2$. Quindi per $x> -2$, $f(x)=4x(1-x)$. Però, poichè la funzione non è strettamente monotona, mi verrebbe da dire che se $-2 $$g(t)=sup_{x>t} f(x)=sup_{x>t} (4x(1-x))=4t(1-t)$$ e se $1/2 Infine se $t< -2$, $x>t$ implica $x> -2$ e quindi tornerei al caso precedente.
Ma credo di avere ancora parecchi dubbi su questo procedimento.
Grazie mille!

[Mephlip]

Prego! Non è chiaro se per $-2

Cita

Segnala

[irizar1]

Mi scuso. L’espressione corretta è $4x(1+x)$