Grafico da studiare al variare di $lambda$
$x^lambda log(x)$
devo studiare il grafico al variare di lambda!
ditemi per favore i passaggi che devo fare! $lambda$ mi mette grande panico! :S
devo studiare il grafico al variare di lambda!
ditemi per favore i passaggi che devo fare! $lambda$ mi mette grande panico! :S
Risposte
"Marcomix":
$x^lambda log(x)$
devo studiare il grafico al variare di lambda!
ditemi per favore i passaggi che devo fare! $lambda$ mi mette grande panico! :S
$lambda$ è un parametro reale?
si
fai lo studio di funzione...comincia con il dominio...
Scusatemi, ma questo post sta andando a rilento. Vorrei sapere in maniera più concisa la soluzione di ciò.
1. Si tratta di porre $lambda=0, lambda<0, lambda>0$; quindi, esprimere tale funzione secondo questi tre casi di $lambda$.
A mio avviso, il più facile è con $lambda=0$ ed iniziamo con questo.
1a. $lambda=0, f(x)=logx$
Tralascio i passaggi per questo studio di funzione, poichè è una funzione base da sapere.
L'andamento della funzione con concavità verso il basso, ha asintoto verticale a $0$, passa per $x=1$ e tende a $+oo$.
1b. Se $lambda=0, Imf(x)=RR$
Adesso sono pongo i miei dubbi:
Come procedo per $lambda>0 e lambda<0$?
1. Si tratta di porre $lambda=0, lambda<0, lambda>0$; quindi, esprimere tale funzione secondo questi tre casi di $lambda$.
A mio avviso, il più facile è con $lambda=0$ ed iniziamo con questo.
1a. $lambda=0, f(x)=logx$
Tralascio i passaggi per questo studio di funzione, poichè è una funzione base da sapere.
L'andamento della funzione con concavità verso il basso, ha asintoto verticale a $0$, passa per $x=1$ e tende a $+oo$.
1b. Se $lambda=0, Imf(x)=RR$
Adesso sono pongo i miei dubbi:
Come procedo per $lambda>0 e lambda<0$?
Tratta [tex]$\lambda$[/tex] come se fosse un numero qualsiasi...
Insomma pensa: se avessi scritto [tex]$x^3 \ln x$[/tex] oppure [tex]$x^{-\frac{1}{2}} \ln x$[/tex] cosa faresti? E ripeti lo stesso ragionamento.
Insomma pensa: se avessi scritto [tex]$x^3 \ln x$[/tex] oppure [tex]$x^{-\frac{1}{2}} \ln x$[/tex] cosa faresti? E ripeti lo stesso ragionamento.
La cosa più semplice da fare, nel caso in cui tu non riesca a ragionare con un parametro non "chiaro", è di sostituire [tex]\lambda[/tex] uno specifico valore nei due casi e disegnarne l'andamento. Poi tenti di generalizzare.
In contemporanea con gugo
In contemporanea con gugo
con $lambda>0$ potrei avere
1. $lambda>=1$
2. $0
1a. $f(x)= xlogx$
2a. $f(x)= sqrt{x}logx$
tuttavia quest'ultimo è più piccolo di $xlogx$. $xlogx$ implica sicuramente l'immagine di 2a.
la 1a. passa per i punti $(1,0)$ e $(0,0)$, il dominio è $>0$ e tende a $+oo$
la derivata di essa è $f'(x)=logx+1$ che mi permette di dire che $x=e^-1$ è il punto di minimo.
Sostituisco quest'ultimo nella funzione generale con tanto di $lambda$ e individuo che $y=-1/(e)^lambda$
per cui $Imf(x)=[1/(e)^lambda, +oo]$
1. $lambda>=1$
2. $0
1a. $f(x)= xlogx$
2a. $f(x)= sqrt{x}logx$
tuttavia quest'ultimo è più piccolo di $xlogx$. $xlogx$ implica sicuramente l'immagine di 2a.
la 1a. passa per i punti $(1,0)$ e $(0,0)$, il dominio è $>0$ e tende a $+oo$
la derivata di essa è $f'(x)=logx+1$ che mi permette di dire che $x=e^-1$ è il punto di minimo.
Sostituisco quest'ultimo nella funzione generale con tanto di $lambda$ e individuo che $y=-1/(e)^lambda$
per cui $Imf(x)=[1/(e)^lambda, +oo]$
Marcomix il parametro lo devi tenere così com'è.
Non ha senso prendere informazioni ottenute per [tex]$\lambda =1$[/tex] (od un qualunque altro valore particolare del parametro) ed usarle negli altri casi.
Esempio: [tex]$\lambda >0$[/tex].
In quasto caso la funzione [tex]$f_\lambda (x):=x^\lambda \ \ln x$[/tex] è definita in [tex]$]0,+\infty[$[/tex] e si prolunga su [tex]$0$[/tex] con continuità da destra, giacché [tex]$\lim_{x\to 0^+} f_\lambda (x)=0$[/tex]; inoltre [tex]$\lim_{x\to +\infty} f_\lambda (x)=+\infty$[/tex] e ciò, unito alla continuità di [tex]$f_\lambda(x)$[/tex] ti dice già che l'immagine è non limitata superiormente.
La [tex]$f_\lambda$[/tex] è derivabile in $]0,+\infty[$ (ed anche in [tex]$0$[/tex] da destra se [tex]$\lambda > 1$[/tex]; altrimenti, se [tex]$\lambda \leq 1$[/tex] il punto [tex]$0$[/tex] è a tangente verticale); la derivata prima è [tex]$f_\lambda^\prime (x) =x^{\lambda -1} (\lambda \ln x+1)$[/tex], sicché la funzione è crescente [risp. decrescente] a destra [risp. a sinistra] del punto [tex]$e^{-\frac{1}{\lambda}}$[/tex], il quale risulta essere un punto di minimo (assoluto) per il grafico di [tex]$f_\lambda$[/tex], il minimo essendo [tex]$f_\lambda(e^{-\frac{1}{\lambda}}) =-\frac{1}{\lambda \ e}$[/tex]; inoltre, se [tex]$\lambda >1$[/tex], allora anche [tex]$0$[/tex] è un punto critico ed un massimo relativo.
Ne consegue che [tex]$\text{Im} (f_\lambda) =\left[ -\frac{1}{\lambda\ e} ,+\infty\right[$[/tex].
La derivata seconda è...
Continua tu con lo studio della convessità; poi svolgi anche il caso [tex]$\lambda <0$[/tex].
*** EDIT: correzione effettuata dopo la segnalazione di Marcomix.
Non ha senso prendere informazioni ottenute per [tex]$\lambda =1$[/tex] (od un qualunque altro valore particolare del parametro) ed usarle negli altri casi.
Esempio: [tex]$\lambda >0$[/tex].
In quasto caso la funzione [tex]$f_\lambda (x):=x^\lambda \ \ln x$[/tex] è definita in [tex]$]0,+\infty[$[/tex] e si prolunga su [tex]$0$[/tex] con continuità da destra, giacché [tex]$\lim_{x\to 0^+} f_\lambda (x)=0$[/tex]; inoltre [tex]$\lim_{x\to +\infty} f_\lambda (x)=+\infty$[/tex] e ciò, unito alla continuità di [tex]$f_\lambda(x)$[/tex] ti dice già che l'immagine è non limitata superiormente.
La [tex]$f_\lambda$[/tex] è derivabile in $]0,+\infty[$ (ed anche in [tex]$0$[/tex] da destra se [tex]$\lambda > 1$[/tex]; altrimenti, se [tex]$\lambda \leq 1$[/tex] il punto [tex]$0$[/tex] è a tangente verticale); la derivata prima è [tex]$f_\lambda^\prime (x) =x^{\lambda -1} (\lambda \ln x+1)$[/tex], sicché la funzione è crescente [risp. decrescente] a destra [risp. a sinistra] del punto [tex]$e^{-\frac{1}{\lambda}}$[/tex], il quale risulta essere un punto di minimo (assoluto) per il grafico di [tex]$f_\lambda$[/tex], il minimo essendo [tex]$f_\lambda(e^{-\frac{1}{\lambda}}) =-\frac{1}{\lambda \ e}$[/tex]; inoltre, se [tex]$\lambda >1$[/tex], allora anche [tex]$0$[/tex] è un punto critico ed un massimo relativo.
Ne consegue che [tex]$\text{Im} (f_\lambda) =\left[ -\frac{1}{\lambda\ e} ,+\infty\right[$[/tex].
La derivata seconda è...
Continua tu con lo studio della convessità; poi svolgi anche il caso [tex]$\lambda <0$[/tex].
*** EDIT: correzione effettuata dopo la segnalazione di Marcomix.
La soluzione dell'esercizio è:
Soluzione: $Im(f) = [-1/(elambda), +oo [$ se $lambda>0$, $Im(f) = RR$ se $lambda=0$ e $Im(f)=] -oo,-1/(e lambda) ]$ se $lambda<0$;
Gugo, la sua soluzione non corrisponde!
Soluzione: $Im(f) = [-1/(elambda), +oo [$ se $lambda>0$, $Im(f) = RR$ se $lambda=0$ e $Im(f)=] -oo,-1/(e lambda) ]$ se $lambda<0$;
Gugo, la sua soluzione non corrisponde!
Effettivamente ho sbagliato un passaggio (ah, quando si scrive di getto!).
La derivata prima si annulla se [tex]$\lambda \ln x=-1$[/tex] cioè se [tex]$x=e^{-\frac{1}{\lambda}}$[/tex]. Il punto così determinato è di minimo (assoluto) e si ha:
[tex]$f_\lambda (e^{-\frac{1}{\lambda}}) =-\frac{1}{\lambda \ e}$[/tex].
Hai fatto bene a segnalare l'errore (di cui spero ti sia accorto rifacendo i calcoli, e non solo in conseguenza del non trovarti col risultato).
P.S.: "sua" di chi?!? Qui ci si da del tu.
La derivata prima si annulla se [tex]$\lambda \ln x=-1$[/tex] cioè se [tex]$x=e^{-\frac{1}{\lambda}}$[/tex]. Il punto così determinato è di minimo (assoluto) e si ha:
[tex]$f_\lambda (e^{-\frac{1}{\lambda}}) =-\frac{1}{\lambda \ e}$[/tex].
Hai fatto bene a segnalare l'errore (di cui spero ti sia accorto rifacendo i calcoli, e non solo in conseguenza del non trovarti col risultato).
P.S.: "sua" di chi?!? Qui ci si da del tu.
Si 
direi di aver capito, ma ti dirò 'ora ho VERAMENTE capito' se mi dici, perchè hai stabilito che la funzione va da $0$ a $+oo$.
Io direi perchè $x^lambda$ è sempre $>0$ per ogni $lambda$ e lo stesso vale per il $log$.
In più, illuminami su $\lim_{x\to 0^+} f_\lambda (x)=0$ a me non torna
direi di aver capito, ma ti dirò 'ora ho VERAMENTE capito' se mi dici, perchè hai stabilito che la funzione va da $0$ a $+oo$.Io direi perchè $x^lambda$ è sempre $>0$ per ogni $lambda$ e lo stesso vale per il $log$.
In più, illuminami su $\lim_{x\to 0^+} f_\lambda (x)=0$ a me non torna
comunque sia per $lambda<0$ si può dire che ottiene lo stesso risultato, anche se tende a $-oo$, perchè al variare di lambda, $x^lambda$ è sempre positivo
"Marcomix":
Si
Io direi perchè $x^lambda$ è sempre $>0$ per ogni $lambda$ e lo stesso vale per il $log$.
Cosa vuol dire ciò?
"Marcomix":
In più, illuminami su $\lim_{x\to 0^+} f_\lambda (x)=0$ a me non torna
Sai che esiste un teorema di de l'Hôpital?
niente, non volevo dire niente.. capito tutto!
Certo che esiste un teorema di de l'Hopital, che diamine (mi domando perchè a volte certe cose non vengo spontanee)!
grazie per la tua pazienza infinita!
Ciao
capito tutto! Certo che esiste un teorema di de l'Hopital, che diamine (mi domando perchè a volte certe cose non vengo spontanee)!
grazie per la tua pazienza infinita!
Ciao
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