Grafici e curve di livello di funzioni a più variabili
ciao tutti avrei un quesito da porvi... 
come si disegna un grafico di una funzione f(x,y), come ad esempio $f(x,y)=x^2+y^2$? quale è il procedimento da seguire?
come si disegnano le curve di livello di una funzione f(x,y), come ad esempio $f(x,y)=x^2+y^2$? quale è il procedimento da seguire?
grazie in anticipo
come si disegna un grafico di una funzione f(x,y), come ad esempio $f(x,y)=x^2+y^2$? quale è il procedimento da seguire?
come si disegnano le curve di livello di una funzione f(x,y), come ad esempio $f(x,y)=x^2+y^2$? quale è il procedimento da seguire?
grazie in anticipo
Risposte
La curva di livello non è altro che supporre una delle incognite fissa (usualmente $z$), nel tuo caso:
$z=x^2+y^2$
Implica che scelgo $z=z_0$ e disegno poi l'equazione in due incognite questa volta del tipo: $z_0=x^2+y^2$ (una circonferenza!!)
Da questo intuisco che quale che sia la scelta di $z>0$ avrò una circonferenza via via più grande in base a come scelgo $z$.
Il modo segue il senso di "tagliare" la curva in 3D per renderla visibile a Flatlandia (ndr)
Analogamente potresti farlo fissando $x=x_0$ e rendendoti conto che $z=y^2+x_0^2$ sono parabole!
Il disegno finale della funzione che cerchi è quindi un paraboloide a sezione circolare.
[nemmeno io
]
$z=x^2+y^2$
Implica che scelgo $z=z_0$ e disegno poi l'equazione in due incognite questa volta del tipo: $z_0=x^2+y^2$ (una circonferenza!!)
Da questo intuisco che quale che sia la scelta di $z>0$ avrò una circonferenza via via più grande in base a come scelgo $z$.
Il modo segue il senso di "tagliare" la curva in 3D per renderla visibile a Flatlandia (ndr)
Analogamente potresti farlo fissando $x=x_0$ e rendendoti conto che $z=y^2+x_0^2$ sono parabole!
Il disegno finale della funzione che cerchi è quindi un paraboloide a sezione circolare.
[nemmeno io
]
Disegnare in 2D un grafico di una $f(x,y)$ non è possibile, perchè è una funzione che si sviluppa in 3D. I casi particolari sono quelli di una $f(x,y)$ che in realtà si sviluppa su un piano, anche se spazialmente in 3D...cambiando il sistema d riferimento puoi farne una rappresentazione, ma gli assi non saranno $x$ e $y$.
L'unica maniera per fare qualcosa per una generica $f(x,y)$ sono proprio le curve di livello, cioè dare un valore arbitrario per esempio alla variabile $x$ per poi disegnare $f(a,y)$=f(y).
Di solito si impone come costante un valore di $z$...quindi $f(x,y)=C$ che è una funzione in una variabile nella forma implicita. Rendendola esplicita e disegnando quella, sai che è come se nello spazio $(x,y,z)$ avessi preso il piano ad altezza $z=C$ e ci avessi sezionato la superficie $z=f(x,y)$...la curva risultante $C=f(x,y)$ è proprio quella. Costruendo le varie curve di livello per diversi $C$ puoi ottenere in 2D l'andamento della superficie...come nellec artine geografiche dove ci sono le montagne (cioè le curve chiuse una dentro l'altra che indicano l'ascesa dell'altitudine sono le curve di livello della montagna, quindi le sezioni a varie altezze)
[ups, non ti avevo visto, Lord]
L'unica maniera per fare qualcosa per una generica $f(x,y)$ sono proprio le curve di livello, cioè dare un valore arbitrario per esempio alla variabile $x$ per poi disegnare $f(a,y)$=f(y).
Di solito si impone come costante un valore di $z$...quindi $f(x,y)=C$ che è una funzione in una variabile nella forma implicita. Rendendola esplicita e disegnando quella, sai che è come se nello spazio $(x,y,z)$ avessi preso il piano ad altezza $z=C$ e ci avessi sezionato la superficie $z=f(x,y)$...la curva risultante $C=f(x,y)$ è proprio quella. Costruendo le varie curve di livello per diversi $C$ puoi ottenere in 2D l'andamento della superficie...come nellec artine geografiche dove ci sono le montagne (cioè le curve chiuse una dentro l'altra che indicano l'ascesa dell'altitudine sono le curve di livello della montagna, quindi le sezioni a varie altezze)
[ups, non ti avevo visto, Lord]
ma devo farlo sia fissando z che x? e se z<0 è giusto dire che ho un paraboloide rovesciato?
Se $z<0$ non c'è nulla....
perchè?
un altra cosa perchè il dominio di $f(x,y)=log(x^2+y^2)$ è $(x,y)!=(0,0)$
un altra cosa perchè il dominio di $f(x,y)=log(x^2+y^2)$ è $(x,y)!=(0,0)$
Se $z<0$ quale sarebbe la coppia $(x,y)$ che renderebbe vera: $z=x^2+y^2$????
Il dominio di $f(x,y)=log(x^2+y^2)$ è $E={(x,y) in RR^2: x^2+y^2>0}$ a causa dell'esistenza del logaritmo, ma questo è proprio: $E={(x,y) in RR^2: (x,y)!=(0,0)}$ caso in cui è zero, negarivo non sarà mai!
Il dominio di $f(x,y)=log(x^2+y^2)$ è $E={(x,y) in RR^2: x^2+y^2>0}$ a causa dell'esistenza del logaritmo, ma questo è proprio: $E={(x,y) in RR^2: (x,y)!=(0,0)}$ caso in cui è zero, negarivo non sarà mai!
a) beh ecco in effetti hai ragione
b) però se dico x^2+y^2>0 è vero per ogni (x,y) ma se (x,y)=0 verrebbe 0>0 che non ha senso....quindi per questo motivo deve essere x,y diverso da zero?
b) però se dico x^2+y^2>0 è vero per ogni (x,y) ma se (x,y)=0 verrebbe 0>0 che non ha senso....quindi per questo motivo deve essere x,y diverso da zero?
"Knuckles":
però se dico x^2+y^2>0 è vero per ogni (x,y) ma se (x,y)=0 verrebbe 0>0 che non ha senso....quindi per questo motivo deve essere x,y diverso da zero?
Infatti non è vero che $x^2+y^2>0$ è vero per ogni $(x,y)$...non risulta verificato proprio per $(x,y)=(0,0)$. Sarebbe verificato anche per $(x,y)=(0,0)$ solo se fosse $x^2+y^2 ge 0$
ok... una cosa...
ho $f(x,y)=log((1-x^2)/(1-y^2))$....
ho fatto
$1-x^2>0 rArr -1
bene come unisco le informazioni che ho ottenuto per disegnare correttamente il dominio di f? a me viene il quadrato centrato nell'origine con vertici (1,1) (1,-1) (-1-1) (-1,1) perimetro non compreso....che però è sbagliato...
ho $f(x,y)=log((1-x^2)/(1-y^2))$....
ho fatto
$1-x^2>0 rArr -1
bene come unisco le informazioni che ho ottenuto per disegnare correttamente il dominio di f? a me viene il quadrato centrato nell'origine con vertici (1,1) (1,-1) (-1-1) (-1,1) perimetro non compreso....che però è sbagliato...
c'è il quadrato indicato da te, perimetro escluso, ma ci sono anche 4 angoli retti (lati esclusi) in cui sia il modulo della x sia il modulo della y sono maggiori di 1, angoli opposti al vertice di ciascuno degli angoli interni del quadrato.
non ho seguito tutta la discussione, ma mi riferisco alla soluzione della disequazione $(1-x^2)/(1-y^2) > 0$
ciao.
non ho seguito tutta la discussione, ma mi riferisco alla soluzione della disequazione $(1-x^2)/(1-y^2) > 0$
ciao.
infatti ma non riuscivo a capire come trovare i quattro angoli retti.... ora però ci sono riuscito grazie!
prego!
scusa un attimo come trovo il dominio di $f(x,y)=sqrt(sensqrt(x^2+y^2))
deve essere $sensqrt(x^2+y^2)>=0$ però coma la risolvo?
deve essere $sensqrt(x^2+y^2)>=0$ però coma la risolvo?
ammazza! la cosa più ovvia da scrivere, dato che il radicando è comunque non negativo, è
$sqrt(x^2+y^2) in [2kpi, (2k+1)pi]$
quindi dovrebbe essere un cerchio e infinite corone circolari, tutte di centro l'origine, e raggi $2kpi$ e $(2k+1)pi$....
che ne pensi? ciao.
$sqrt(x^2+y^2) in [2kpi, (2k+1)pi]$
quindi dovrebbe essere un cerchio e infinite corone circolari, tutte di centro l'origine, e raggi $2kpi$ e $(2k+1)pi$....
che ne pensi? ciao.
che se mi ricordavo qualcosa di più dal liceo forse era meglio però una cosa... se ho devo dire $xsen(sqrt(x^2+y^2))>=0$?
però una cosa... se ho devo dire $xsen(sqrt(x^2+y^2))>=0$?
son due fattori da studiare.. $x>=0$ e $sinsqrt(x^2+y^2)>=0
ok... però mi viene x maggiore o uguale a zero e la radice compresa fra $2kpi$ e $pi(2k+1)$... come unisco i risultati?
per $x>=0$ vale quanto detto in precedenza, per $x<=0$ vanno presi i valori compresi tra $(2h-1)pi$ e $2hpi$.
quindi un semicerchio con x positive, una semi-corona-circolare con x negative, una semi-corona-circolare con x positive e così via.
è chiaro?
quindi un semicerchio con x positive, una semi-corona-circolare con x negative, una semi-corona-circolare con x positive e così via.
è chiaro?
a giusto perchè possono essere o tutti e due positivi o tutti e due negativi... ma non capisco perchè 2h-1 e non 2h+1...
va bene come dici tu $2h+1$ per partire da $h=0$, però in quel caso devi dire da $(2h+1)pi$ a $(2h+2)pi$
io ho scritto da $(2h-1)pi$ a $2hpi$, e parto da $h=1$.
OK? ciao.
io ho scritto da $(2h-1)pi$ a $2hpi$, e parto da $h=1$.
OK? ciao.
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