Grafici

[attila3]

1) Tracciare il grafico della funzione f (x) = max (x; x^2), che associa ad ogni x appartenente a R^2 il maggiore tra l’immagine ottenuta attraverso la funzione g (x) = x e quella ottenuta attraverso la funzione h (x) = x^2. (Esempio f (2) = max (g(2), h(2)) = max (2, 2^2) = max (2, 4) = 4, essendo 4 > 2. Suggerimento: tracciare i grafici delle funzioni h e g.)

2) Risolvere la seguente disequazione: log in base 2 di (4^x – 2^x) < 1

grazie

[fireball1]

Affinché la disequazione abbia significato, bisogna che sia 4^x – 2^x > 0 e quindi x>0.

La soluzione della disequazione dovrebbe essere 0
Considero l'equazione associata:

log in base 2 di (4^x – 2^x) = 1

2^1=4^x – 2^x

che risolta dà x=1

Tornando alla disequazione, abbiamo allora:

4^x-2^x < 2

che va messa a sistema con la condizione

x>0

quindi

{4^x-2^x < 2
{x>0

Dalla prima si ottiene x<1, poi siccome dev'essere x>0, allora la soluzione è 0

Cita

Segnala

[MaMo2]

1) La funzione g(x) = x è la retta bisettrice del I e III quadrante mentre la funzione h(x) = x^2 è una parabola, con concavità rivolta verso l'alto, con vertice nell'origine degli assi.
Risolvendo la disequazione g(x) > h(x) si trova l'intervallo 0 < x < 1.
Il grafico della funzione f(x) è perciò quello della funzione g(x)= x nell'intervallo 0 < x < 1 e quello della funzione h(x) = x^2 nei restanti intervalli di R.

[WonderP1]

Ecco il grafico del problema. In grosso la soluzione, mentre con le linee sottili sono indicati x e x^2.


WonderP.

[fireball1]

Mi date la conferma che la disequazione sia esatta come l'ho svolta io?

[WonderP1]

La condizione x>0 è data dal campo di esistenza (R) e x<1 dai calcoli. Corretto fire!

[Camillo]

Grafico
Disegna sullo stesso sistema di coordinate le due funzioni : y=

x(bisettrice del I e III quadrante ) e y= x^2( parabola con vertice

in O(0,0)).
I punti in cui le due funzioni si intersecano sono O(0,0) e A(1,1).
E' adesso evidente dal grafico che :
- nell'intervallo : (-inf.,0) la funzione max tra le due è : y=x^2
- nell'intervallo : (0, 1) la funzione max tra le due è : y= x
- nell'intervallo ( 1, +inf) la funzione max è : y= x^2
Pertanto la funzione f(x) è costituita dall'arco di parabola in

(-inf,0) ; poi dal segmento della retta y=x in ( 0,1) e infine

dall'arco di parabola (1, +inf).
La rappresentazione analitica di f(x) è quindi :


f(x) = x^2 per : -inf < x <= 0
= x per : 0 < x < =1
= x^2 per : 1 < x < +inf.

* Disequazione

log base 2( 4^x-2^x) < 1 ( 1 si può anche scrivere come : log base 2

di 2).Da qui in avanti log è sempre inteso in base 2.

PRima di tutto va posta la condizione che l'argomento del log sia >0,

( altrimenti il log non è definito),cioè :
4^x-2^x >0 che riscrivo : (2*2)^x-2^x > 0 da cui :
2^x * 2^x -2^x > 0 ed infine : 2^x(2^x-1)>0 ; 2^x è sempre > 0 , deve

allora essere :2^x > 1 cioè : 2^x > 2^0 e quindi : x > 0 .
Ora dalla disequazione : log(4^x-2^x)< log 2 deduco :
4^x -2^x < 2 e quindi :
(2*2)^x-2^x -2 < 0 da cui : (2^x)*(2^x)-2^x-2 < 0 e infine :
2^(2x)-2^x -2 < 0 ; ponendo ora : 2^x = t si ottiene :

t^2 -t-2<0 .
Le radici della equazione associata ( t^2-t-2 = 0 )sono :
t= 2 e t= -1.
Quindi la disequazione è verificata per :

-1 < t < 2 ; essendo t= 2^x, -1< t è sempre verificata e allora deve

essere : t < 2 cioè : 2^x < 2 e finalmente : x< 1 .
La soluzione è allora , ricordando anche la condizione di esistenza

(x>0) : 0 < x < 1.
ciao
Camillo