Grado massimo McLaurin
Ciao ragazzi,
Sto preparando analisi I e ogni tanto mi sorge qualche dubbio. E' il mio primo post, siate clementi se sbaglio qualche scrittura, ma devo prenderci la mano.
Allora, vi propongo un quiz a risposta multipla dove vorrei avere conferma dei miei ragionamenti e della risposta, in quanto non ho la soluzione di questo quiz:
Sia f(x) definita come :
$ e^(4x) + ln(1-8x^2) $ se $ x>= 0 $
$ 1 +4x $ altrimenti
Le risposte sono:
a. lo sviluppo di McLaurin esiste di ogni ordine
b. Il massimo ordine possibile per cui esiste lo sviluppo di McLaurin di f è 1
c. Il massimo ordine possibile per cui esiste lo sviluppo di McLaurin di f è 2
d. Il massimo ordine possibile per cui esiste lo sviluppo di McLaurin di f è 3
Il mio ragionamento iniziale è stato questo... verifico che la funzione sia continua in 0, effetivamente risulta esserlo. Il dominio della funzione definita per $ x>= 0 $ risulta essere $ x< 1/sqrt8 $.
Provo quindi a determinare la classe della funzione definita per intervalli, faccio la derivata prima e ottengo :
f(x) definita come :
$ 4e^(4x) + (1/ (1 - 8x^2))(-16x)$ se $ x>= 0 $
$ 4 $ altrimenti
In questo caso il dominio della funzione definita per $ x>= 0 $ risulta essere $x!= 1/ sqrt8 $ e ciò risulta compatibile con il dominio della funzione... quindi posso dire che f è di classe c1 e proseguire.
Faccio la derivata seconda che sarà (errori di calcolo e scrittura permettendo):
f(x) definita come:
$ 16e^(4x) -16x ( -16x )/(1-8x^2)^2 + 1/ (1-8x^2) (-16) $ se $ x>= 0 $
$ 0 $ altrimenti
Anche in questo caso il dominio della funzione definita per $ x>=0 $ risulta essere "compatibile" con il dominio della funzione e della derivata prima, quindi posso dire che f(x) è di classe c2. f(x) non è più derivabile, perchè la parte definita per $ x!= 0 $ non ammette altra derivata (come posso rendere più rigoroso questo concetto?).
Lo sviluppo di McLaurin di ordine massimo possibile di f è quindi 2. (Risposta .c.)
E' corretto il ragionamento?
Sto preparando analisi I e ogni tanto mi sorge qualche dubbio. E' il mio primo post, siate clementi se sbaglio qualche scrittura, ma devo prenderci la mano.
Allora, vi propongo un quiz a risposta multipla dove vorrei avere conferma dei miei ragionamenti e della risposta, in quanto non ho la soluzione di questo quiz:
Sia f(x) definita come :
$ e^(4x) + ln(1-8x^2) $ se $ x>= 0 $
$ 1 +4x $ altrimenti
Le risposte sono:
a. lo sviluppo di McLaurin esiste di ogni ordine
b. Il massimo ordine possibile per cui esiste lo sviluppo di McLaurin di f è 1
c. Il massimo ordine possibile per cui esiste lo sviluppo di McLaurin di f è 2
d. Il massimo ordine possibile per cui esiste lo sviluppo di McLaurin di f è 3
Il mio ragionamento iniziale è stato questo... verifico che la funzione sia continua in 0, effetivamente risulta esserlo. Il dominio della funzione definita per $ x>= 0 $ risulta essere $ x< 1/sqrt8 $.
Provo quindi a determinare la classe della funzione definita per intervalli, faccio la derivata prima e ottengo :
f(x) definita come :
$ 4e^(4x) + (1/ (1 - 8x^2))(-16x)$ se $ x>= 0 $
$ 4 $ altrimenti
In questo caso il dominio della funzione definita per $ x>= 0 $ risulta essere $x!= 1/ sqrt8 $ e ciò risulta compatibile con il dominio della funzione... quindi posso dire che f è di classe c1 e proseguire.
Faccio la derivata seconda che sarà (errori di calcolo e scrittura permettendo):
f(x) definita come:
$ 16e^(4x) -16x ( -16x )/(1-8x^2)^2 + 1/ (1-8x^2) (-16) $ se $ x>= 0 $
$ 0 $ altrimenti
Anche in questo caso il dominio della funzione definita per $ x>=0 $ risulta essere "compatibile" con il dominio della funzione e della derivata prima, quindi posso dire che f(x) è di classe c2. f(x) non è più derivabile, perchè la parte definita per $ x!= 0 $ non ammette altra derivata (come posso rendere più rigoroso questo concetto?).
Lo sviluppo di McLaurin di ordine massimo possibile di f è quindi 2. (Risposta .c.)
E' corretto il ragionamento?
Risposte
Lo sviluppo di Mac Laurin della "prima" funzione è $1+4x+32/3 x^3+...$ mentre la funzione $1+4x$ è uguale al suo sviluppo (la funzione è già un polinomio).
Quindi fino al grado 2 i due sviluppi sono uguali, e differiscono dal grado 3 in poi.
Quindi la tua risposta è corretta, ma il metodo usato mi pare un po' tortuoso.
Quindi fino al grado 2 i due sviluppi sono uguali, e differiscono dal grado 3 in poi.
Quindi la tua risposta è corretta, ma il metodo usato mi pare un po' tortuoso.
Si, effettivamente è tortuoso, ma è stata la prima cosa che mi è venuta in mente! Seguendo il tuo ragionamento, tuttavia, non riesco a risolvere un esercizio, pressocchè identico! Ovvero...
$f(x)={(x^2sin1/x,text{se} x!=0),(0,text{altrimenti}):}$
(se non si capisse, la funzione definita per $ !=0 $ è un sin1/x)
a. f non ammette lo sviluppo di McLaurin per nessun ordine
b. f ammette lo sviluppo di McLaurin di qualsiasi ordine.
c. Per ogni x(zero) $ !=0$ e per ogni n appartenente ad N, la funzione f ammette lo sviluppo di taylor centrato in x(zero) di ordine n.
c. Per ogni x(zero) $ !=0$, la funzione f ammette lo sviluppo di taylor centrato in x(zero) arrestato al secondo ordine.
In questo esercizio ho escluso subito la risposta c, in quando non sto lavorando con un funzione di classe C infinita. Mi sono soffermato poi sulle altre ripetendo il tuo ragionamento... avrei :
$f(x)={(x^2(1/x - (1/x)^3/ 6),text{se} x!=0),(0,text{altrimenti}):}$
sviluppando la funzione definita per $ x!=0 $ sino al secondo ordine, poichè se escludo la risposta C, escludo di conseguenza anche la risposta B e quindi il grado massimo che fino a cui potrei sviluppare la funzione è il secondo. Da qui però non saprei come proseguire... Help xD!
Ps: il tuo ragionamento mi è chiaro, l'applicazione su questo esercizio meno, spero di non fare domande troppo ovvie, ma gli sviluppi li odio dal primo giorno ahaha!
Ps2: Scusate il modo in cui scrivo, ma devo ancora prendere bene confidenza con ASCIIMathML
$f(x)={(x^2sin1/x,text{se} x!=0),(0,text{altrimenti}):}$
(se non si capisse, la funzione definita per $ !=0 $ è un sin1/x)
a. f non ammette lo sviluppo di McLaurin per nessun ordine
b. f ammette lo sviluppo di McLaurin di qualsiasi ordine.
c. Per ogni x(zero) $ !=0$ e per ogni n appartenente ad N, la funzione f ammette lo sviluppo di taylor centrato in x(zero) di ordine n.
c. Per ogni x(zero) $ !=0$, la funzione f ammette lo sviluppo di taylor centrato in x(zero) arrestato al secondo ordine.
In questo esercizio ho escluso subito la risposta c, in quando non sto lavorando con un funzione di classe C infinita. Mi sono soffermato poi sulle altre ripetendo il tuo ragionamento... avrei :
$f(x)={(x^2(1/x - (1/x)^3/ 6),text{se} x!=0),(0,text{altrimenti}):}$
sviluppando la funzione definita per $ x!=0 $ sino al secondo ordine, poichè se escludo la risposta C, escludo di conseguenza anche la risposta B e quindi il grado massimo che fino a cui potrei sviluppare la funzione è il secondo. Da qui però non saprei come proseguire... Help xD!
Ps: il tuo ragionamento mi è chiaro, l'applicazione su questo esercizio meno, spero di non fare domande troppo ovvie, ma gli sviluppi li odio dal primo giorno ahaha!
Ps2: Scusate il modo in cui scrivo, ma devo ancora prendere bene confidenza con ASCIIMathML
NEssuno mi sa aiutare? Pls, proprio non ci arrivo xD!
Non c'è niente da odiare o da amare negli sviluppi, o nella matematica. Non c'è un metodo valido per tutto, altrimenti non ci sarebbe bisogno dei matematici.
Questo è un esercizio già più sofisticato, comunque. Non è propriamente una serie di Taylor perchè la $x$ compare con segno negativo. comunque quello che si può dire è questo:
Lo sviluppo l'hai scritto bene $T(x)=x^2(x-1/(6x^3)+...)=x-1/(6x)+...$
(Bisogna mettere i puntini, non sono un optional).
Quindi
a. f non ammette lo sviluppo di McLaurin per nessun ordine
Falso, se mi fermo al primo ordine ho $T(x)=x$. quindi esiste.
b. f ammette lo sviluppo di McLaurin di qualsiasi ordine.
Falso, già al III ordine, se $x=0$, la funzione non è definita, infatti dopo suggeriscono delle risposte dove $x != 0$ (guardacaso !)
c. Per ogni x(zero) e per ogni n appartenente ad N, la funzione f ammette lo sviluppo di taylor centrato in x(zero) di ordine n.
Questa è falsa, perchè $lim_(x->0) T(x) !=0$ mentre per la funzione originale $lim_(x->0) f(x) =0$
d. Per ogni x(zero) , la funzione f ammette lo sviluppo di taylor centrato in x(zero) arrestato al secondo ordine.
La d sembra l'unica vera, anche se non c'è bisogni di specificare $x!=0$.
Questo è un esercizio già più sofisticato, comunque. Non è propriamente una serie di Taylor perchè la $x$ compare con segno negativo. comunque quello che si può dire è questo:
Lo sviluppo l'hai scritto bene $T(x)=x^2(x-1/(6x^3)+...)=x-1/(6x)+...$
(Bisogna mettere i puntini, non sono un optional).
Quindi
a. f non ammette lo sviluppo di McLaurin per nessun ordine
Falso, se mi fermo al primo ordine ho $T(x)=x$. quindi esiste.
b. f ammette lo sviluppo di McLaurin di qualsiasi ordine.
Falso, già al III ordine, se $x=0$, la funzione non è definita, infatti dopo suggeriscono delle risposte dove $x != 0$ (guardacaso !)
c. Per ogni x(zero) e per ogni n appartenente ad N, la funzione f ammette lo sviluppo di taylor centrato in x(zero) di ordine n.
Questa è falsa, perchè $lim_(x->0) T(x) !=0$ mentre per la funzione originale $lim_(x->0) f(x) =0$
d. Per ogni x(zero) , la funzione f ammette lo sviluppo di taylor centrato in x(zero) arrestato al secondo ordine.
La d sembra l'unica vera, anche se non c'è bisogni di specificare $x!=0$.
eheh... grazie davvero.
Se posso "approfittare" della tua disponibilità vorrei chiederti ancora un chiarimento.
Hai detto :"Non è propriamente una serie di Taylor perchè la x compare con segno negativo."
Non ho capito cosa vorresti dire con questo... intendi che sono gli sviluppi di McLaurin ammettono termini in x con segno negativo? Se così non fosse, probabilmente mi sono perso qualche "porprietà" fondamentale delle serie di Taylor.
Insomma, mi chiariresti meglio questa tua affermazione e, cosa intendi dire con questo?
Inoltre, hai detto :
"b. f ammette lo sviluppo di McLaurin di qualsiasi ordine.Falso, già al III ordine, se x=0, la funzione non è definita".
Questo perchè al terzo ordine per $ X = 0 $ "uscirebbe" un'ideterminazione del tipo $+ oo$ $ - oo$ ?
Se posso "approfittare" della tua disponibilità vorrei chiederti ancora un chiarimento.
Hai detto :"Non è propriamente una serie di Taylor perchè la x compare con segno negativo."
Non ho capito cosa vorresti dire con questo... intendi che sono gli sviluppi di McLaurin ammettono termini in x con segno negativo? Se così non fosse, probabilmente mi sono perso qualche "porprietà" fondamentale delle serie di Taylor.
Insomma, mi chiariresti meglio questa tua affermazione e, cosa intendi dire con questo?
Inoltre, hai detto :
"b. f ammette lo sviluppo di McLaurin di qualsiasi ordine.Falso, già al III ordine, se x=0, la funzione non è definita".
Questo perchè al terzo ordine per $ X = 0 $ "uscirebbe" un'ideterminazione del tipo $+ oo$ $ - oo$ ?
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