Gradiente perpendicolare alla tangente di una circonferenza
salve a tutti,
ho un piccolo problema: partendo dal fatto che il coefficente angolare m della retta tangente ad una circonferenza nel punto P rappresenta la pendenza, e quindi la derivata, della circonferenza in quel punto, posso scrivere il gradiente così [tex]\nabla = my\tilde{y} + (- 1/m) x \tilde{x}[/tex] , visto che essendo -1/m il coefficente della retta perpendicolare alla retta tangente, dovrebbe rappresentare anche la derivata parziale prima rispetto ad x, giusto?? io ci ho provato a dimostrarlo ma non mi viene, perchè il gradiente non mi risulta a sua volta perpendicolare alla retta tangente alla curva di livello, quando invece dovrebbe esserlo!!
ho un piccolo problema: partendo dal fatto che il coefficente angolare m della retta tangente ad una circonferenza nel punto P rappresenta la pendenza, e quindi la derivata, della circonferenza in quel punto, posso scrivere il gradiente così [tex]\nabla = my\tilde{y} + (- 1/m) x \tilde{x}[/tex] , visto che essendo -1/m il coefficente della retta perpendicolare alla retta tangente, dovrebbe rappresentare anche la derivata parziale prima rispetto ad x, giusto?? io ci ho provato a dimostrarlo ma non mi viene, perchè il gradiente non mi risulta a sua volta perpendicolare alla retta tangente alla curva di livello, quando invece dovrebbe esserlo!!
Risposte
Derivata della circonferenza? Cosa vuoi dire? Stai cercando il versore normale alla circonferenza, forse?
"dissonance":
Derivata della circonferenza? Cosa vuoi dire? Stai cercando il versore normale alla circonferenza, forse?
la pendenza (m) della retta tangente ad una circonferenza in un punto P rappresenta la sua derivata in quel punto.
ho capito cosa vuoi fare: tu dici che visto che il gradiente in $(x_0, y_0)$ della funzione $f(x,y) = x^2 + y^2$ è perpendicolare alla curva di livello $k = x^2 + y^2$ in $(x_0, y_0)$ (supposto punto della cdl), allora se ti trovi la tangente nel punto $(x_0, y_0)$ con la derivata calcolata in $x_0$ della funzione $ y = g(x) = sqrt(k-x^2)$ (oppure $g(x) = -sqrt(k-x^2)$ a seconda della semicirconferenza che prendi) , questa deve essere ortogonale al gradiente calcolato nel medesimo punto; il che suggerisce che la retta $(x_0, y_0) + lambda \nabla f(x_0, y_0)$ (con $lambda \in RR)$ è ortogonale alla retta $y - y_0 = g'(x_0)(x - x_0)$ e coincide invece con $y - y_0 = -1/(g'(x_0))(x - x_0)$ .. bhè sì, questo deve funzionare
"enr87":
ho capito cosa vuoi fare: tu dici che visto che il gradiente in $(x_0, y_0)$ della funzione $f(x,y) = x^2 + y^2$ è perpendicolare alla curva di livello $k = x^2 + y^2$ in $(x_0, y_0)$ (supposto punto della cdl), allora se ti trovi la tangente nel punto $(x_0, y_0)$ con la derivata calcolata in $x_0$ della funzione $ y = g(x) = sqrt(k-x^2)$ (oppure $g(x) = -sqrt(k-x^2)$ a seconda della semicirconferenza che prendi) , questa deve essere ortogonale al gradiente calcolato nel medesimo punto; il che suggerisce che la retta $(x_0, y_0) + lambda \nabla f(x_0, y_0)$ (con $lambda \in RR)$ è ortogonale alla retta $y - y_0 = g'(x_0)(x - x_0)$ e coincide invece con $y - y_0 = -1/(g'(x_0))(x - x_0)$ .. bhè sì, questo deve funzionare
grande fratèèèè!!!!
era proprio questo quello che volevo fare!! 
....solo che non mi viene!!! ^^'
prova a postare i passaggi che fai, perchè da quello che hai scritto sopra non si capisce granchè. soprattutto mi interessa vedere perchè non ti viene (forse sbagli una derivata).. comunque fai attenzione, che non ha senso parlare di derivata di una circonferenza, non essendo quest'ultima una funzione da R in R
"enr87":
prova a postare i passaggi che fai, perchè da quello che hai scritto sopra non si capisce granchè. soprattutto mi interessa vedere perchè non ti viene (forse sbagli una derivata).. comunque fai attenzione, che non ha senso parlare di derivata di una circonferenza, non essendo quest'ultima una funzione da R in R
No scusami, stiamo dicendo 2 cose diverse.
Allora io ho la circonferenza di equazione $ x^(2)+y^(2)=5 $, la cui tangente nel punto P(1,2) è $ y=- 1 / 2 x + 5 / 2 $ quindi poichè la retta perpendicolare a quest'ultima sara' $ y=2x+5 / 2 $, il gradiente può essere costruito così: $ nabla = -1 / 2 ybar (i) + 2xbar (j) $ . A questo punto voglio dimostrare che questo gradiente sia perpendicolare alla tangente. Per far ciò vado a sostituire i valori di P nell'ultima equazione ovvero $ nabla = -1bar (i) + 2bar (j) $ e mi trovo le coordinate della punta del gradiente aggiungendo a quelle di P i coefficenti di quest'ultimo, ovvero $x'=1 + 2$ e $y'= 2-1$, dopodichè trovo il coefficente angolare della retta passante per i punti P e P' con la formula $ m'= (-1-2) / (2-1) $ per verificare se sia perpendicolare alla tangente. Purtroppo dato che in questo modo la pendenza del gradiente verrebbe -3 vuol dire che non è perpendicolare alla tangente come dovrebbe essere. Quindi sto sbagliando o non ho ben chiaro qualcosa. Potresti delucidarmi tu?? ^^
quella è una retta perpendicolare, ma non passa per il punto P(1,2), ma credo che questo fosse chiaro.
per costruire il gradiente relativo ai punti di quella circonferenza, non puoi partire dall'equazione di quella retta tangente che hai trovato: in quel modo hai semplicemente trovato un vettore con gli stessi verso e direzione (ma non modulo) di $nabla f(x_0, y_0)$. giusto per completezza aggiungo che è diverso dal determinare $nabla f(x, y= sqrt(5-x^2))$.
comunque attento a quello che scrivi: l'equazione della retta tangente è $y = -1/2x + 5/2$, il che significa che il vettore $vec v = 1 vec i + 1/2 vec j $ oppure $vec w = 2 vec v = 2 vec i + 1 vec j $ sono quelli paralleli a $nabla f(x_0, y_0)$. prova a continuare da qui e vedere se ti trovi.
per costruire il gradiente relativo ai punti di quella circonferenza, non puoi partire dall'equazione di quella retta tangente che hai trovato: in quel modo hai semplicemente trovato un vettore con gli stessi verso e direzione (ma non modulo) di $nabla f(x_0, y_0)$. giusto per completezza aggiungo che è diverso dal determinare $nabla f(x, y= sqrt(5-x^2))$.
comunque attento a quello che scrivi: l'equazione della retta tangente è $y = -1/2x + 5/2$, il che significa che il vettore $vec v = 1 vec i + 1/2 vec j $ oppure $vec w = 2 vec v = 2 vec i + 1 vec j $ sono quelli paralleli a $nabla f(x_0, y_0)$. prova a continuare da qui e vedere se ti trovi.
"enr87":
quella è una retta perpendicolare, ma non passa per il punto P(1,2), ma credo che questo fosse chiaro.
per costruire il gradiente relativo ai punti di quella circonferenza, non puoi partire dall'equazione di quella retta tangente che hai trovato: in quel modo hai semplicemente trovato un vettore con gli stessi verso e direzione (ma non modulo) di $nabla f(x_0, y_0)$. giusto per completezza aggiungo che è diverso dal determinare $nabla f(x, y= sqrt(5-x^2))$.
comunque attento a quello che scrivi: l'equazione della retta tangente è $y = -1/2x + 5/2$, il che significa che il vettore $vec v = 1 vec i + 1/2 vec j $ oppure $vec w = 2 vec v = 2 vec i + 1 vec j $ sono quelli paralleli a $nabla f(x_0, y_0)$. prova a continuare da qui e vedere se ti trovi.
si ma io ero partito dal fatto che il gradiente ha per componenti le derivate parziali di una funzione, quindi se nel caso della circonferenza la derivata (che sarebbe la derivata parziale rispetto a x) in un punto è rappresentata dal coefficente angolare della retta tangente in quel punto, ho pensato che di conseguenza la derivata parziale rispetto a y fosse il coefficente angolare della retta perpendicolare a questa tangente. Ho sbagliato??
sì, sbagli e ti spiego perchè (spero di aver capito la domanda naturalmente): tu affermi che la derivata parziale rispetto a x di $x^2 + y^2$ dovrebbe essere uguale alla derivata (rispetto a x) della funzione $sqrt(5-x^2)$, giusto? verifichiamo immediatamente che questo non è vero: la derivata rispetto a x di $z = x^2 + y^2$ è 2x, che in x = 1 fa 2, mentre la derivata di $y = sqrt(5-x^2)$ è $- x/(sqrt(5-x^2))$, che in x = 1 fa $-1/2$. la giustificazione geometrica è questa: quando fai una derivata parziale di una funzione di due variabili, guardi la derivata rispetto ad una variabile, ossia la pendenza della funzione nello spazio rispetto ad essa. d'altra parte è possibile "visualizzare" la pendenza di un paraboloide rispetto ad x, semplicemente sezionandolo con un piano parallelo al piano xz nel punto di interesse (quello che ottieni è una parabola): è chiaro che non c'è alcuna relazione allora tra la derivata della semicirconferenza, e quella del paraboloide rispetto ad x. in un caso infatti sei limitato a derivare su un piano, nell'altro sei nello spazio
"enr87":
sì, sbagli e ti spiego perchè (spero di aver capito la domanda naturalmente): tu affermi che la derivata parziale rispetto a x di $x^2 + y^2$ dovrebbe essere uguale alla derivata (rispetto a x) della funzione $sqrt(5-x^2)$, giusto? verifichiamo immediatamente che questo non è vero: la derivata rispetto a x di $z = x^2 + y^2$ è 2x, che in x = 1 fa 2, mentre la derivata di $y = sqrt(5-x^2)$ è $- x/(sqrt(5-x^2))$, che in x = 1 fa $-1/2$. la giustificazione geometrica è questa: quando fai una derivata parziale di una funzione di due variabili, guardi la derivata rispetto ad una variabile, ossia la pendenza della funzione nello spazio rispetto ad essa. d'altra parte è possibile "visualizzare" la pendenza di un paraboloide rispetto ad x, semplicemente sezionandolo con un piano parallelo al piano xz nel punto di interesse (quello che ottieni è una parabola): è chiaro che non c'è alcuna relazione allora tra la derivata della semicirconferenza, e quella del paraboloide rispetto ad x. in un caso infatti sei limitato a derivare su un piano, nell'altro sei nello spazio
si ho capito perchè, ti ringrazio per avermi chiarito!!
bella fratè!!!! =)
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