Gradiente nullo in un connesso

[anto_zoolander]

sia $f:Omega->RR$ una funzione su $OmegasubseteqRR^n$ aperto connesso.

$nablaf(x)=vec(0),forallx in Omega => exists c in RR:forallx in Omega, f(x)=c$

intanto il fatto che il gradiente sia nullo ovunque ci garantisce che le derivate parziali essendo nulle ovunque sono continue, pertanto $f$ è differenziabile e quindi continua.

sia $x_0 in Omega$ e consideriamo gli insiemi

$A={x in Omega: f(x)=f(x_0)}$

$B={x in Omega: f(x) ne f(x_0)}$

chiaramente $AcupB=Omega$ e $AcapB=emptyset$ e sicuramente $x_0 in A$
dunque se mostriamo che $A,B$ sono aperti, essendo $A$ non vuoto, dovrà essere $B$ vuoto.

sicuramente $B$ è aperto per continuità infatti per $z in B$ e se $f(z)

$epsilon=f(x_0)-f(z)existsdelta>0:forallx in Omega(||x-z|| f(x)

quindi $B(z, delta)capOmegasubseteqB$ ora visto che $Omega$ è aperto e $z in Omega$ allora sarà un punto interno ovvero $existsr>0:B(z,r)subsetOmega$ pertanto $B(z, delta)capB(z,r)$ è la palletta contenuta in $B$ e quindi $B$ è aperto. O proprio ad essere pedanti basta prendere $k=min{delta, r}$

mostriamo che anche $A$ è aperto.
sia $z in A$ e sia, per apertura di $Omega$, $r>0: B(z,r)subsetOmega$ mostriamo che deve stare anche in $A$.
Sia $y in B(z,r)$ ed essendo la palletta un insieme convesso di avrà che contiene interamente $[z,y]$ pertanto $[z,y]subsetOmega$ ma quindi per Lagrange si avrà $f(y)-f(z)=nablaf(t)*(y-z)=0 => f(y)=f(z)$ da cui $y in A$

pertanto anche $A$ è aperto e sopratutto non vuoto, pertanto deve essere $B=emptyset$

ritengo che sia corretto, però vorrei conferme.

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Risposte

dissonance

6 giu 2018, 15:09

È giusto. Il fatto che \(B\) sia aperto si può dimostrare in modo più elegante scrivendo \(B=f^{-1}(\mathbb R\setminus \{f(x_0)\})\), e ricordando che la controimmagine di un aperto mediante una funzione continua è un aperto.

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anto_zoolander

6 giu 2018, 15:31

Si avrei accorciato un po' in effetti.

Mi è piaciuta molto questa cosa che ho usato sul fatto che un aperto contenga sempre pallette convesse.

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[dissonance]

È giusto. Il fatto che \(B\) sia aperto si può dimostrare in modo più elegante scrivendo \(B=f^{-1}(\mathbb R\setminus \{f(x_0)\})\), e ricordando che la controimmagine di un aperto mediante una funzione continua è un aperto.

[anto_zoolander]

Si avrei accorciato un po' in effetti.

Mi è piaciuta molto questa cosa che ho usato sul fatto che un aperto contenga sempre pallette convesse.