Gradiente in coordinate polari
Salve a tutti, mi stavo chiedendo come è possibile trovare il gradiente di una funzione del tipo $U(r(x,y),theta(x,y))$ in coordinate polari ( due dimensioni). Non essendo riuscito ad interpretare bene le dimostrazioni trovate online, che non sono nemmeno spiegate, ma hanno solo i passaggi illustrati, mi sono cimentato io con le mie conoscenze personali.
Partendo dal fatto che il gradiente è un operatore che porta funzioni scalari in spazi vettoriali, cioè in questo caso$grad : U(r,theta)->R^2$, ed essendo la sua espressione esplicita: $grad(U(r(x,y),theta(x,y)))=(partial(U))/(partial(i))$ per ogni $i$, ove $i=x,y$ e sapendo che ognuno di questi deve essere proiettato sulle coordinate rispetto alla base canonica ho allora pensato che per ottenere lo stesso risultato rispetto alla base $e_r,e_(theta)$ basterà comporre la funzione due volte, e quindi ottenere il seguente cambio:
$U(r[x(r,theta),y(r,theta)],theta[x(r,theta),y(r,theta)])$ in modo che calcolando le corrispettive derivate parziali con la regola della catena ottenga direttamente quanto voluto, senza utilizzare le coordinate relative al cambio di base: $e_x=cos(theta)e_r+sen(theta)e_(theta)$ ,$e_y=-sen(theta)e_r+cos(theta)e_(theta)$. Il risultato mi viene identico, ma non sono certo che quanto fatto sia formalmente giusto. Volevo quindi una conferma della bontà di quanto fatto.
P.S ovviamente la composizione è effettuata considerando: $r(x,y)=sqrt(x^2+y^2),theta(x,y)=arctan(y/x)$ e $x(r,theta)=rcos(theta),y(r,theta)=rsen(theta)$ da cui si possono evincere le matrici Jacobiane.
Effettivamente il calcolo è lungo e complicato, ma mi ha dato informazioni più concrete sul significato del gradiente rispetto al sistema di coordinate polari
Partendo dal fatto che il gradiente è un operatore che porta funzioni scalari in spazi vettoriali, cioè in questo caso$grad : U(r,theta)->R^2$, ed essendo la sua espressione esplicita: $grad(U(r(x,y),theta(x,y)))=(partial(U))/(partial(i))$ per ogni $i$, ove $i=x,y$ e sapendo che ognuno di questi deve essere proiettato sulle coordinate rispetto alla base canonica ho allora pensato che per ottenere lo stesso risultato rispetto alla base $e_r,e_(theta)$ basterà comporre la funzione due volte, e quindi ottenere il seguente cambio:
$U(r[x(r,theta),y(r,theta)],theta[x(r,theta),y(r,theta)])$ in modo che calcolando le corrispettive derivate parziali con la regola della catena ottenga direttamente quanto voluto, senza utilizzare le coordinate relative al cambio di base: $e_x=cos(theta)e_r+sen(theta)e_(theta)$ ,$e_y=-sen(theta)e_r+cos(theta)e_(theta)$. Il risultato mi viene identico, ma non sono certo che quanto fatto sia formalmente giusto. Volevo quindi una conferma della bontà di quanto fatto.
P.S ovviamente la composizione è effettuata considerando: $r(x,y)=sqrt(x^2+y^2),theta(x,y)=arctan(y/x)$ e $x(r,theta)=rcos(theta),y(r,theta)=rsen(theta)$ da cui si possono evincere le matrici Jacobiane.
Effettivamente il calcolo è lungo e complicato, ma mi ha dato informazioni più concrete sul significato del gradiente rispetto al sistema di coordinate polari
Risposte
Si, alla fine è solo la regola della catena. Se vuoi una interpretazione più invariante (ossia, indipendente dalla scelta delle coordinate), aspetta di studiare la geometria Riemanniana.
grazie dissonance, ci stavo perdendo talmente tanto tempo su quest' operatore che non sapevo se ne sarei più uscito fuori 
Consulta il libro di Itskov, "Tensor algebra and tensor analysis for engineers" (segnalatomi anni fa da ciampax, che ringrazio). Fa tutti questi calcoli in modo rapido e chiaro.
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