Gradiente funzione "tosta"
Buonasera a tutti,
Vi scrivo perché mi trovo in seria difficoltà con un esercizio che richiede di calcolare il gradiente di una funzione in un punto.
La funzione è la seguente:
$f(x,y)= \int_{-1}^{xy^2} ye^(xt^2) dt$
Viene chiesto di calcolare il gradiente di $f$ nel punto $(0,1)$.
Presumo che qui vada usata la formula di Leibnitz:
$\frac{d}{dx}\int_{\alpha (x) }^{\beta (x)} f(t,x)dt = \frac{d\beta}{dx}f(\beta(x),x)-\frac{d\alpha}{dx}f(\alpha(x),x) + \int_{\alpha (x) }^{\beta (x)} \frac{\partial}{\partial x}f(t,x)dt$
Mi trovo nei guai perché:
1) tale formula è stata a malapena accennata solo qualche giorno prima dell'esame;
2) spesso ne è richiesto l'uso pratico negli esercizi.
Cercherò di scrivere cosa non capisco del suddetto esercizio, (chiedo scusa per le possibili eresie):
- Mi riesce difficile "figurarmi" la funzione, in quanto le variabili che si trovano agli estremi di integrazione si trovano anche nella funzione integranda;
- Non riuscirei ad applicare la formula di Leibnitz, in quanto la funzione $\beta(x,y)= xy^2$ è chiaramente funzione non solo di $x$, ma anche di $y$.
Come si procede in tali casi?
C'è qualcuno capace di risolvere l'esercizio e/o di fare chiarezza?
Ammetto che l'introduzione di questa formula ha generato non poca confusione in me.
Vi scrivo perché mi trovo in seria difficoltà con un esercizio che richiede di calcolare il gradiente di una funzione in un punto.
La funzione è la seguente:
$f(x,y)= \int_{-1}^{xy^2} ye^(xt^2) dt$
Viene chiesto di calcolare il gradiente di $f$ nel punto $(0,1)$.
Presumo che qui vada usata la formula di Leibnitz:
$\frac{d}{dx}\int_{\alpha (x) }^{\beta (x)} f(t,x)dt = \frac{d\beta}{dx}f(\beta(x),x)-\frac{d\alpha}{dx}f(\alpha(x),x) + \int_{\alpha (x) }^{\beta (x)} \frac{\partial}{\partial x}f(t,x)dt$
Mi trovo nei guai perché:
1) tale formula è stata a malapena accennata solo qualche giorno prima dell'esame;
2) spesso ne è richiesto l'uso pratico negli esercizi.
Cercherò di scrivere cosa non capisco del suddetto esercizio, (chiedo scusa per le possibili eresie):
- Mi riesce difficile "figurarmi" la funzione, in quanto le variabili che si trovano agli estremi di integrazione si trovano anche nella funzione integranda;
- Non riuscirei ad applicare la formula di Leibnitz, in quanto la funzione $\beta(x,y)= xy^2$ è chiaramente funzione non solo di $x$, ma anche di $y$.
Come si procede in tali casi?
C'è qualcuno capace di risolvere l'esercizio e/o di fare chiarezza?
Ammetto che l'introduzione di questa formula ha generato non poca confusione in me.
Risposte
Beh, basta derivare parzialmente:
\[
\frac{\partial}{\partial x} \int_{\alpha(x,y)}^{\beta(x,y)} f(x,y,t)\ \text{d} t = f(x,y,\beta (x,y))\ \frac{\partial \beta}{\partial x}(x,y) - f(x,y,\alpha (x,y))\ \frac{\partial \alpha}{\partial x}(x,y) + \int_{\alpha(x,y)}^{\beta(x,y)} \frac{\partial f}{\partial x} (x,y,t)\ \text{d} t
\]
ed analogamente con $y$.
\[
\frac{\partial}{\partial x} \int_{\alpha(x,y)}^{\beta(x,y)} f(x,y,t)\ \text{d} t = f(x,y,\beta (x,y))\ \frac{\partial \beta}{\partial x}(x,y) - f(x,y,\alpha (x,y))\ \frac{\partial \alpha}{\partial x}(x,y) + \int_{\alpha(x,y)}^{\beta(x,y)} \frac{\partial f}{\partial x} (x,y,t)\ \text{d} t
\]
ed analogamente con $y$.
"gugo82":
Beh, basta derivare parzialmente:
\[
\frac{\partial}{\partial x} \int_{\alpha(x,y)}^{\beta(x,y)} f(x,y,t)\ \text{d} t = f(x,y,\beta (x,y))\ \frac{\partial \beta}{\partial x}(x,y) - f(x,y,\alpha (x,y))\ \frac{\partial \alpha}{\partial x}(x,y) + \int_{\alpha(x,y)}^{\beta(x,y)} \frac{\partial f}{\partial x} (x,y,t)\ \text{d} t
\]
ed analogamente con $y$.
grazie gugo!!!
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