Gradiente funzione composta

[Shika93]

Devo calcolare $\grad(f o g)(1,-1)$ dove $g(x,y)=x^2+y^3,xy^2+x^3)$ e $f(u,v)=sin^2u+1-e^v$

So che per calcolarlo devo fare: $\gradf(g(1,-1))jacg(1,-1)$

Io ho calcolato prima $f(g(x,y))=sin^2(x^2+y^3)+1-e^(xy^2+x^3)$
quindi
$\gradf(g)=(2xsin2(x^2+y^3)-(x^2+3x^2)e^(xy^2+x^3),3y^2sin2(x^2+y^3)-2xye^(xy^2+x^3))$

$\gradf(g(1,-1))=(-4e^2,2e^2)$

$jacg(x,y)=((2x,3y^2),(y^2+3x^2,2xy)) \Rightarrow jacg(1,-1)=((2,3),(4,-2))$

A questo punto $(-4e^2,2e^2)((2,3),(4,-2))=(0,-16e^2)$

Ho sbagliato qualcosa perchè deve venire $(-4e^2,2e^2)$ ma non capisco cosa...

[Emar1]

Hai praticamente fatto un passaggio in più

Allora, quando si scrivono queste espressioni è bene abbondare con le parentesi. Vogliamo calcolare:
\[\nabla(f \circ \mathbf{g})\]
Le strade sono due:
1) Si calcola esplicitamente \(f(\mathbf{g}(x,y))\) e poi si fa il gradiente
2) Si usa il teorema della funziona composta

La prima strada è quella che tu hai seguito ottenendo \((-4e^2,2e^2)\), ma li ti dovevi fermare!

La seconda strada è invece quella di usare il teorema:
\[\nabla(f \circ \mathbf{g}) = ((\nabla f)\circ \mathbf{g}) \cdot \mathbf{D}\mathbf{g}\]
Nota bene l'uso delle parentesi!
Quindi, prima ti calcoli il gradiente di \(f\) nelle variabili \(u,v\). Poi ci componi \(\mathbf{g}\) e moltiplichi per la jacobiana (che io ho indicato con \(\mathbf{D}\mathbf{g}\)). Tu praticamente hai fuso i due metodi

PS Mi raccomando a usare il gradiente come riga in questo caso!

[Shika93]

Ahh porca vacca hai ragione! Io in effetti la funzione composta la calcolavo sempre con $\grad(f \circ g)$.

"Emar":Tu praticamente hai fuso i due metodi

Si, mi sono perso una parentesi negli appunti. Grazie mille!