Gradiente funzione composta
Data $g(x,y)=(x^2+y^3,xy^2+x^3)$ e $f(u,v)=sin^2u+1-e^v$
devo calcolare $\grad(f o g)(1,-1)$ e deve venire $(-4e^2,2e^2)$
Io ho calcolato $(f o g)=sin^2(x^2+y^3)+1-e^(xy^2-x^3)$
Ora devo solo derivarlo?
devo calcolare $\grad(f o g)(1,-1)$ e deve venire $(-4e^2,2e^2)$
Io ho calcolato $(f o g)=sin^2(x^2+y^3)+1-e^(xy^2-x^3)$
Ora devo solo derivarlo?
Risposte
Fai la derivata parziale rispetto ad $x$ e ottieni una funzione, fai la derivata parziale rispetto ad $y$ e ne ottieni un'altra, nelle funzioni sostituisci $1$ a $x$ e $-1$ a $y$ i valori ottenuti sono il punto che hai detto deve restituire come risultato.
Devo fare il gradiente della funzione composta, no?
Si, prendi la funzione composta che hai trovato e utilizzi il metodo che ho detto sopra.
Grazie!
Devo calcolare $\gradH(0,1,1)$ dove $H=G o F$
$G(u,v,w,t)=(e^(u+v)sin(u^3+v^2+t))$, $F(x,y,z)=(x+y,y-z,x+y^2+z^2,xyz)$
Come minchia si fa?!?! Mai fatta una funzione in R4 fin'ora!
$G(u,v,w,t)=(e^(u+v)sin(u^3+v^2+t))$, $F(x,y,z)=(x+y,y-z,x+y^2+z^2,xyz)$
Come minchia si fa?!?! Mai fatta una funzione in R4 fin'ora!
Non cambia praticamente nulla rispetto all'esercizio precedente: calcola $G\circF$, poi trovane il gradiente ed infine valutalo in $(0,1,1)$.
Dov'è che ti blocchi?
Dov'è che ti blocchi?
Hai solo due variabili in più, qual'è il problema?
Ad ogni modo, $F$ e $G$ sono entrambe stra-differenziabili, quindi puoi andare sicuro/a con la regola di derivazione della composta. Hai:[nota]Indico le variabili $x,y,z,t$ con $x_1,x_2,x_3,x_4$, mentre con $F_1,F_2,F_3,F_4 : RR^3\to RR$ indico le componenti di $F$. Con $\langle .,.\rangle$ indico il prodotto scalare standard su $RR^4$.[/nota]
\[\dfrac{\partial (G\circ F)}{\partial x_i}(0,1,1)=\left\langle \nabla G(F(0,1,1)),\dfrac{\partial F}{\partial x_i} \right\rangle=\sum_{j=1}^4 \dfrac{\partial G}{\partial x_j}(F(0,1,1))\dfrac{\partial F_j}{\partial x_i}(0,1,1)\]
Altrimenti, calcola "a mano" $G\circ F$, fanne il gradiente e valutalo in $(0,1,1)$, ché data la natura delle funzioni in gioco è forse più semplice da un punto di vista computazionale.
EDIT. Bugia: guardando meglio la $G$, probabilmente ti va meglio utilizzando la formula.
Ad ogni modo, $F$ e $G$ sono entrambe stra-differenziabili, quindi puoi andare sicuro/a con la regola di derivazione della composta. Hai:[nota]Indico le variabili $x,y,z,t$ con $x_1,x_2,x_3,x_4$, mentre con $F_1,F_2,F_3,F_4 : RR^3\to RR$ indico le componenti di $F$. Con $\langle .,.\rangle$ indico il prodotto scalare standard su $RR^4$.[/nota]
\[\dfrac{\partial (G\circ F)}{\partial x_i}(0,1,1)=\left\langle \nabla G(F(0,1,1)),\dfrac{\partial F}{\partial x_i} \right\rangle=\sum_{j=1}^4 \dfrac{\partial G}{\partial x_j}(F(0,1,1))\dfrac{\partial F_j}{\partial x_i}(0,1,1)\]
Altrimenti, calcola "a mano" $G\circ F$, fanne il gradiente e valutalo in $(0,1,1)$, ché data la natura delle funzioni in gioco è forse più semplice da un punto di vista computazionale.
EDIT. Bugia: guardando meglio la $G$, probabilmente ti va meglio utilizzando la formula.
Io ho fatto il calcolo alla mano, e veniva fuori una funzione abnorme...
$G o F=e^(x+2y-z)sin((x+y)^3+(y+z)^3+xyz)$
Calcolato il gradiente, in (0,1,1) mi viene fuori:
$\gradH(0,1,1)=sin9+4ecos9,2e^2sin9+9ecos9,-e^(-1)sin9+3ecos9$
E se era giusta, mi mordo le mani!
M'è capitata oggi all'esame e non ricordandomi la regola di derivazione di funzione composta, ho fatto così.
Però ad un certo punto ho sentito la prof che parlava di jacobiana e sono andato nel pallone!
Io tra gli appunti ho il teorema di derivazione di una funzione composta, e fatte le dovute ipotesi, $jac(g o f)=jac(g(y_0))jac(f(x_0))$ ma no ho idea di cosa trovi così...La jacobiana della funzione composta, è il gradiente della funzione composta? E' decisamente una boiata...xD
$G o F=e^(x+2y-z)sin((x+y)^3+(y+z)^3+xyz)$
Calcolato il gradiente, in (0,1,1) mi viene fuori:
$\gradH(0,1,1)=sin9+4ecos9,2e^2sin9+9ecos9,-e^(-1)sin9+3ecos9$
E se era giusta, mi mordo le mani!
M'è capitata oggi all'esame e non ricordandomi la regola di derivazione di funzione composta, ho fatto così.
Però ad un certo punto ho sentito la prof che parlava di jacobiana e sono andato nel pallone!
Io tra gli appunti ho il teorema di derivazione di una funzione composta, e fatte le dovute ipotesi, $jac(g o f)=jac(g(y_0))jac(f(x_0))$ ma no ho idea di cosa trovi così...La jacobiana della funzione composta, è il gradiente della funzione composta? E' decisamente una boiata...xD
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