Gradiente funzione
Considerate una funzione
$u(x,y):RR^2 ->RR $
$u in C^(oo)$
Perchè il gradiente della funzione è sempre perpendicolare al grafico della funzione?
$u(x,y):RR^2 ->RR $
$u in C^(oo)$
Perchè il gradiente della funzione è sempre perpendicolare al grafico della funzione?
Risposte
Falso.
(Architetto od economista?...
)
(Architetto od economista?...
)
Errore mio, avevo letto una cavolata e gli ero andato dietro.
(Nessuno dei due ma perlomeno non insegnante né aspirante tale!)
(Nessuno dei due ma perlomeno non insegnante né aspirante tale!)
Ricordo qualcosa legato al significato geometrico del gradiente e all'ortogonalità al grafico di una funzione.
Se non ricordo male...
Se consideri la funzione
$F(x,y,z): RR^3->RR$
$F(x,y,z)= u(x,y)-z$
$grad(F)= (u_x , u_y, -1)$
e se valgono alcuni condizioni (tra cui, se non sbaglio, $grad(F)!=0$)
allora il gradiente di $F$ in ogni punto $(x,y, u(x,y))$
risulta perpendicolare al piano tangente il grafico di $u(x,y)$
Se non ricordo male...
"anonymous_f3d38a":
$ u(x,y):RR^2 ->RR $
$ u in C^(oo) $
Se consideri la funzione
$F(x,y,z): RR^3->RR$
$F(x,y,z)= u(x,y)-z$
$grad(F)= (u_x , u_y, -1)$
e se valgono alcuni condizioni (tra cui, se non sbaglio, $grad(F)!=0$)
allora il gradiente di $F$ in ogni punto $(x,y, u(x,y))$
risulta perpendicolare al piano tangente il grafico di $u(x,y)$
"anonymous_f3d38a":
Errore mio, avevo letto una cavolata e gli ero andato dietro.
(Nessuno dei due ma perlomeno non insegnante né aspirante tale!)
Menomale... Per un attimo ho temuto il peggio.
"impe":
allora il gradiente di $F$ in ogni punto $(x,y, u(x,y))$
risulta perpendicolare al piano tangente il grafico di $u(x,y)$
Grazie!
Questo discorso è già stato fatto altre volte... Il problema è che c'è incompatibilità dimensionale tra il vettore gradiente (che ha due componenti, perché vive in $RR^2$) ed il vettore normale alla superificie-grafico di una funzione (che ha tre componenti, vivendo in $RR^3$).
Quindi che $nabla u$ sia ortogonale al grafico di $u$ è una "cagata pazzesca" (cit.).
Oltre all'osservazione, giusta, di impe si può anche osservare che il gradiente $nabla u$ è ortogonale punto a punto alle curve di livello del grafico di $u$ (le quali sono curve piane e regolari, se non ridotte a punti).
Infatti, la generica curva di livello del grafico di $u$ ha equazione $gamma: u(x,y) = k$ (per qualche opportuno $k in RR$) dunque, detta $gamma(t):=(x(t), y(t))$ una sua parametrizzazione, si ha:
$u(x(t), y(t)) = k$ per ogni $t in I$
da cui:
$<< nabla u(x(t),y(t)) , dot(gamma)(t) >> = 0$ per ogni $t in I$
ossia $nabla u(x(t),y(t)) \bot gamma(t)$ in $I$.
Quindi che $nabla u$ sia ortogonale al grafico di $u$ è una "cagata pazzesca" (cit.).
Oltre all'osservazione, giusta, di impe si può anche osservare che il gradiente $nabla u$ è ortogonale punto a punto alle curve di livello del grafico di $u$ (le quali sono curve piane e regolari, se non ridotte a punti).
Infatti, la generica curva di livello del grafico di $u$ ha equazione $gamma: u(x,y) = k$ (per qualche opportuno $k in RR$) dunque, detta $gamma(t):=(x(t), y(t))$ una sua parametrizzazione, si ha:
$u(x(t), y(t)) = k$ per ogni $t in I$
da cui:
$<< nabla u(x(t),y(t)) , dot(gamma)(t) >> = 0$ per ogni $t in I$
ossia $nabla u(x(t),y(t)) \bot gamma(t)$ in $I$.
grazie gugo
Il senso di questa frase era:
"La mia professione non è né l'una né l'altra, ma almeno, a differenza di una minoranza di persone che non sono capaci sapendo di non essere capaci, non vado in giro a fare danni come insegnante".
Lo preciso perché non vorrei che qualcuno la leggesse come sfottò per gli insegnanti
(categoria di professionisti che reputo di fondamentale importanza per la nostra società e per la quale auspico un futuro migliore)
"anonymous_f3d38a":
(Nessuno dei due ma perlomeno non insegnante né aspirante tale!)
Il senso di questa frase era:
"La mia professione non è né l'una né l'altra, ma almeno, a differenza di una minoranza di persone che non sono capaci sapendo di non essere capaci, non vado in giro a fare danni come insegnante".
Lo preciso perché non vorrei che qualcuno la leggesse come sfottò per gli insegnanti
(categoria di professionisti che reputo di fondamentale importanza per la nostra società e per la quale auspico un futuro migliore)
"impe":
$grad(F)= (u_x , u_y, -1)$
e se valgono alcuni condizioni (tra cui, se non sbaglio, $grad(F)!=0$)
Questa condizione vale sempre. Infatti, l'ultima componente di quel vettore è -1. Perció c'è sempre almeno una componente diversa da zero.
E' vero dissonance, ho scritto una banalità. Non mi ricordo se ci sono delle condizioni e quali sono sinceramente.
La funzione deve essere differenziabile, quella è l'unica condizione.
Ah ok era più semplice del previsto, grazie per avermelo ricordato
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