Gradiente funzione

[Gustav Wittgenstein]

Ciao a tutti, ho un esercizio che mi dà qualche grattacapo:

Sono date le funzioni $f:RR^3rarr(0,+oo)$ di classe $C^1(RR^3)$, e $g:RR^2rarrRR$ di classe $C^1(RR^2)$. Sia $G(u,v,w):=g(f^3(u,v,w), 1+2logf(u,v,w))$.

Calcolare $nablaG(2,0,-1)$ sapendo che $f(2,0,-1)=1$, $nablaf(2,0,-1)=(1,2,-1)$ e $nablag(1,1)=(1,0)$.

So che $nablaG=((delG)/(delu), (delG)/(delv), (delG)/(delw))$; il problema è che non sono sicuro su come calcolare queste derivate.

Dalla regola della catena si ha la mostruosità seguente:
$(delG)/(delu)=(delg)/(delf^3(u,v,w))(delf^3(u,v,w))/(delu)+(delg)/(del(1+2logf(u,v,w)))(del(1+2logf(u,v,w)))/(delu)$.

L' idea che mi è venuta è che $(del(1+2logf(u,v,w)))/(delu)=2del/(delu)((logf(u,v,w)))=2/f(u,v,w)((delf)/(delu))$, e valutando in $(2,0,-1)$ si ha $2$ come risultato.

$(delg)/(del(1+2logf(u,v,w)))$ in $(2,0,-1)$ è $g'(1)=1$ per le ipotesi.

Il problema sta nel primo termine della somma; infatti se $f^3$ indica la composizione della funzione con se stessa per tre volte, allora $(delf^3(u,v,w))/(delu)=(del)/(delu)(f(f(f(u,v,w)))$, ma da qui non riesco a cavarmela.

Qualcuno ha idee?

[anonymous_0b37e9]

"Gustav Wittgenstein":
... se $f^3$ indica la composizione della funzione con se stessa per tre volte ...

Direi proprio di no. A rigore, dovrebbe indicare una semplice potenza.

[Gustav Wittgenstein]

Ah, questo mi rallegra parecchio. Si avrebbe quindi $(delf^3(u,v,w))/(delu)=3f^2(u,v,w)(delf)/(delu)=3(f(u,v,w))^2(delf)/(delu)$ che valutato in $(2,0,-1)$ dà semplicemente $3$.

Invece $(delg)/(delf^3(u,v,w))=g'(f^3(u,v,w))=1$ quando valutato nel punto, se non mi sbaglio. Quindi $(delG)/(delu)=3+2=5$. Le altre derivate dovrebbero essere analoghe...

Edit: mi sono accorto ora di un errore. Se non sbaglio dovrebbe essere $ (delg)/(del(1+2logf(u,v,w)))=0$ in $(2,0,-1)$ per le ipotesi, non $1$. Quindi la derivata, in totale, fa semplicemente $3$. E' corretto?

[anonymous_0b37e9]

Poiché:

$(delG)/(delu)=(delg)/(delx)*(delf^3)/(delu)+(delg)/(dely)*(del[1+2logf(u,v,w)])/(delu)=3f^2*(delg)/(delx)*(delf)/(delu)+2/f*(delg)/(dely)*(delf)/(delu)$

$(delG)/(delv)=(delg)/(delx)*(delf^3)/(delv)+(delg)/(dely)*(del[1+2logf(u,v,w)])/(delv)=3f^2*(delg)/(delx)*(delf)/(delv)+2/f*(delg)/(dely)*(delf)/(delv)$

$(delG)/(delw)=(delg)/(delx)*(delf^3)/(delw)+(delg)/(dely)*(del[1+2logf(u,v,w)])/(delw)=3f^2*(delg)/(delx)*(delf)/(delw)+2/f*(delg)/(dely)*(delf)/(delw)$

si ha:

$(delG)/(delu)(2,0,-1)=3f^2(2,0,-1)(delg)/(delx)(1,1)(delf)/(delu)(2,0,-1)+2/f(2,0,-1)(delg)/(dely)(1,1)(delf)/(delu)(2,0,-1)$

$(delG)/(delv)(2,0,-1)=3f^2(2,0,-1)(delg)/(delx)(1,1)(delf)/(delv)(2,0,-1)+2/f(2,0,-1)(delg)/(dely)(1,1)(delf)/(delv)(2,0,-1)$

$(delG)/(delw)(2,0,-1)=3f^2(2,0,-1)(delg)/(delx)(1,1)(delf)/(delw)(2,0,-1)+2/f(2,0,-1)(delg)/(dely)(1,1)(delf)/(delw)(2,0,-1)$

Sostituendo:

$(delG)/(delu)(2,0,-1)=3$

$(delG)/(delv)(2,0,-1)=6$

$(delG)/(delw)(2,0,-1)=-3$

[Gustav Wittgenstein]

Wow, molto esaustivo. I conti mi tornano, grazie