Gradiente e sottospazio tangente
Salve a tutti, domanda veloce veloce
Dunque, per trovare un'insieme di vettori che siano una base dello spazio vettoriale tangente (iperpiano tangente, ma prendiamo il caso semplice R2-->R quindi un semplice piano) a una funzione nel punto x0,y0 ho bisogno che soddisfino questo sistema omogeneo $< \nabla f, v > = 0
ok, ora mi sfugge qualcosa, in questo modo non trovo il sottospazio "normale", "perpendicolare" ai vettori del gradiente (che è tangente, parallelo alla funzione nel punto x0,y0)?
Possibili autorisposte
a) Il gradiente è 1 vettore, non una base di vettori per il piano in questione, quindi se trovo un'altro vettore ortogonale a questo vettore (soddisfando l'equazione lì sopra, che inizialmente è un sistema omogeneo con infinite soluzioni) trovo questo fatidico vettore ortogonale al gradiente e con questi due ho una base e qualsiasi combinazione lineare di questi due mi da il sottospazio tangente.
b) tangente evidentemente vuol dire perpendicolare xD
Dunque, per trovare un'insieme di vettori che siano una base dello spazio vettoriale tangente (iperpiano tangente, ma prendiamo il caso semplice R2-->R quindi un semplice piano) a una funzione nel punto x0,y0 ho bisogno che soddisfino questo sistema omogeneo $< \nabla f, v > = 0
ok, ora mi sfugge qualcosa, in questo modo non trovo il sottospazio "normale", "perpendicolare" ai vettori del gradiente (che è tangente, parallelo alla funzione nel punto x0,y0)?
Possibili autorisposte
a) Il gradiente è 1 vettore, non una base di vettori per il piano in questione, quindi se trovo un'altro vettore ortogonale a questo vettore (soddisfando l'equazione lì sopra, che inizialmente è un sistema omogeneo con infinite soluzioni) trovo questo fatidico vettore ortogonale al gradiente e con questi due ho una base e qualsiasi combinazione lineare di questi due mi da il sottospazio tangente.
b) tangente evidentemente vuol dire perpendicolare xD
Risposte
L'autorisposta 1 è giusta. Unica cosa, non sono sicurissimo che "soddisfando" sia un termine corretto: non si dice "soddisfacendo"?
uhm, non saprei per il come si dice =D
comunque non ne sono convinto, esempio easy, $ z= x^2 + y^2 $ allora $ \nabla f = (2x,2y) $ ora ci sostituisco ad esempio il punto (2,3) e ottengo il gradiente della funzione in questo punto, il quale è un vettore nello spazio bidimensionale x,y cioè (4,6) non è chiaramente un vettore a tre componenti e mi dice unicamente la direzione da prendere per andare dove la funzione è più ripida e il modulo mi dice "quanto è più ripida"
da questo vettore posso però costruire il piano tangente come piano passante tra le rette z=4x e z=6y intuitivamente, infatti il piano tangente ma non affine è z=4x+6y poi con le opportune traslazioni ==> z = 4(x-2)+6(y-3) + 13 ho il mio bel piano tangente.
bene tornando OT
ho questo vettore sul piano x,y cioè (4,6) cerco tutti i vettori v=(x,y) tali che 4*x+6*y=0 ovviamente ce ne sono infiniti, ma ora mi chiedo perpendicolari a questo vettore? bom scelgo x = 3 così y = -2 (ovviamente) e ho trovato il mio vettore normale, bene questo vettore a occhio e croce (scusa xD) opportunamente traslato mi da il vettore tangente alla curva di livello F(x,y) = 13 ma non tutto il sottospazio tangente, confermi?
v appartiene al sottospazio tangente se
$<\nabla f, v>=0$
ma nabla f è un vettore a due dimensioni, v nel grafico può essere anche di 3, sicuramente il vettore (3,-2) (traslato fino al punto (2,3)) genera una retta di vettori tangenti alla funzione in quel punto.. solo che, è un piano il mio sottospazio tangente non una retta.
quindi cosa faccio?
$<({df}/dx,{df}/dy,(0????)),(x,y,z)> = 0 $ ???
comunque non ne sono convinto, esempio easy, $ z= x^2 + y^2 $ allora $ \nabla f = (2x,2y) $ ora ci sostituisco ad esempio il punto (2,3) e ottengo il gradiente della funzione in questo punto, il quale è un vettore nello spazio bidimensionale x,y cioè (4,6) non è chiaramente un vettore a tre componenti e mi dice unicamente la direzione da prendere per andare dove la funzione è più ripida e il modulo mi dice "quanto è più ripida"
da questo vettore posso però costruire il piano tangente come piano passante tra le rette z=4x e z=6y intuitivamente, infatti il piano tangente ma non affine è z=4x+6y poi con le opportune traslazioni ==> z = 4(x-2)+6(y-3) + 13 ho il mio bel piano tangente.
bene tornando OT
ho questo vettore sul piano x,y cioè (4,6) cerco tutti i vettori v=(x,y) tali che 4*x+6*y=0 ovviamente ce ne sono infiniti, ma ora mi chiedo perpendicolari a questo vettore? bom scelgo x = 3 così y = -2 (ovviamente) e ho trovato il mio vettore normale, bene questo vettore a occhio e croce (scusa xD) opportunamente traslato mi da il vettore tangente alla curva di livello F(x,y) = 13 ma non tutto il sottospazio tangente, confermi?
v appartiene al sottospazio tangente se
$<\nabla f, v>=0$
ma nabla f è un vettore a due dimensioni, v nel grafico può essere anche di 3, sicuramente il vettore (3,-2) (traslato fino al punto (2,3)) genera una retta di vettori tangenti alla funzione in quel punto.. solo che, è un piano il mio sottospazio tangente non una retta.
quindi cosa faccio?
$<({df}/dx,{df}/dy,(0????)),(x,y,z)> = 0 $ ???
Uh si hai ragione ho detto una fesseria. Il discorso vale quando hai una superficie $S$ di equazione
$F(x, y, z)=0$.
In questo caso $nabla F(x, y, z)$ è un vettore nello spazio tridimensionale che ti dà la direzione della retta normale a $S$ nel punto $(x, y, z)$. La superficie che dici tu è un caso particolare di questa: se l'equazione è $z=f(x, y)$, allora sei nelle ipotesi precedenti con $F(x, y, z)=f(x, y)-z$. Quindi la direzione normale è individuata da
$nablaF(x, y, z)=(f'_x(x, y), f'_y(x, y), -1)$.
$F(x, y, z)=0$.
In questo caso $nabla F(x, y, z)$ è un vettore nello spazio tridimensionale che ti dà la direzione della retta normale a $S$ nel punto $(x, y, z)$. La superficie che dici tu è un caso particolare di questa: se l'equazione è $z=f(x, y)$, allora sei nelle ipotesi precedenti con $F(x, y, z)=f(x, y)-z$. Quindi la direzione normale è individuata da
$nablaF(x, y, z)=(f'_x(x, y), f'_y(x, y), -1)$.
grazie mille comunque avevi ragione tu sul gerundio 
Ora ha tutto senso!! Per dirla alla Frankenstein junior "ZZZII PUò FAREE"
Ora ha tutto senso!! Per dirla alla Frankenstein junior "ZZZII PUò FAREE"
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