Gradiente e punti stazionari
Ciao a tutti mi sono appena iscritto sperando che qualcuno di voi possa aiutarmi con questi due esercizi.
Esercizio 1 - Data la funzione $ f(x,y,z)=(xyz)/ln(xyz) $ determina l'equazione del piano tangente al grafico della funzione nel punto $ (1,1,1) $ .
Dopo averne calcolato l'insieme di definizione $ Df=(x,y)in R2 : ln(xyz)!= 0->(x,y)in R2:xyz>0 $ (che non so se può bastare tra l'altro) vado a calcolare le derivate parziali prime di $ f $:
$ fx(x,y,z)=(yz*ln(xyz)-xyz*1/(xyz)*yz)/(ln(xyz)^2)=(yz*(ln(xyz)-1))/ln(xyz)^2 $
$ fy(x,y,z)=(xz*ln(xyz)-xyz*1/(xyz)*xz)/(ln(xyz)^2)=(xz*(ln(xyz)-1))/ln(xyz)^2 $
$ fz(x,y,z)=(xy*ln(xyz)-xyz*1/(xyz)*xy)/(ln(xyz)^2)=(xy*(ln(xyz)-1))/ln(xyz)^2 $
A questo punto, andando ad inserire le funzioni nel $ grad f(1,1,1) $ per determinare l'equazione del piano tangente al grafico di $ f $, si hanno tre infiniti. Come posso andare avanti in questo caso? Ho forse sbagliato qualcosa?
Esercizio 2- Data la funzione $ f(x,y)=(4x^3y)/(x^4+y^2) $ determina l'insieme di definizione e tutti i suoi punti stazionari.
L'insieme di definizione è $ Df=(x,y)in R2:x^4+y^2!= 0->(x,y)in R2:y^2!= (-x^4) $ $ ->(x,y)in R2:y!= +-sqrt((-x^4)),con (-x^4)>0 AA x $ $ ->(-oo ,-sqrt((-x^4)))uu (-sqrt((-x^4)),sqrt((-x^4))) uu (sqrt((-x^4)),+oo ) $
Quindi per calcolare i punti stazionari vado a calcolare le derivate prime parziali di $ f $ e le metto a sistema per determinare i punti $ (x0,y0) $ tali da annullare le due equazioni. Le derivate parziali prime sono
$ fx(x,y)=(12x^2y(x^4+y^2)-4x^3y*4x^3)/(x^4+y^2)^2=(4x^2y(3y^2-x^4))/(x^4+y^2)^2 $
$ fy(x,y)=(4x^3*(x^4+y^2)-4x^3y*2y)/(x^4+y^2)^2=(4x^3(x^4-3y^2))/(x^4+y^2)^2 $
Da qui in avanti non riesco a svolgere il sistema.
Qualcuno può aiutarmi?
Esercizio 1 - Data la funzione $ f(x,y,z)=(xyz)/ln(xyz) $ determina l'equazione del piano tangente al grafico della funzione nel punto $ (1,1,1) $ .
Dopo averne calcolato l'insieme di definizione $ Df=(x,y)in R2 : ln(xyz)!= 0->(x,y)in R2:xyz>0 $ (che non so se può bastare tra l'altro) vado a calcolare le derivate parziali prime di $ f $:
$ fx(x,y,z)=(yz*ln(xyz)-xyz*1/(xyz)*yz)/(ln(xyz)^2)=(yz*(ln(xyz)-1))/ln(xyz)^2 $
$ fy(x,y,z)=(xz*ln(xyz)-xyz*1/(xyz)*xz)/(ln(xyz)^2)=(xz*(ln(xyz)-1))/ln(xyz)^2 $
$ fz(x,y,z)=(xy*ln(xyz)-xyz*1/(xyz)*xy)/(ln(xyz)^2)=(xy*(ln(xyz)-1))/ln(xyz)^2 $
A questo punto, andando ad inserire le funzioni nel $ grad f(1,1,1) $ per determinare l'equazione del piano tangente al grafico di $ f $, si hanno tre infiniti. Come posso andare avanti in questo caso? Ho forse sbagliato qualcosa?
Esercizio 2- Data la funzione $ f(x,y)=(4x^3y)/(x^4+y^2) $ determina l'insieme di definizione e tutti i suoi punti stazionari.
L'insieme di definizione è $ Df=(x,y)in R2:x^4+y^2!= 0->(x,y)in R2:y^2!= (-x^4) $ $ ->(x,y)in R2:y!= +-sqrt((-x^4)),con (-x^4)>0 AA x $ $ ->(-oo ,-sqrt((-x^4)))uu (-sqrt((-x^4)),sqrt((-x^4))) uu (sqrt((-x^4)),+oo ) $
Quindi per calcolare i punti stazionari vado a calcolare le derivate prime parziali di $ f $ e le metto a sistema per determinare i punti $ (x0,y0) $ tali da annullare le due equazioni. Le derivate parziali prime sono
$ fx(x,y)=(12x^2y(x^4+y^2)-4x^3y*4x^3)/(x^4+y^2)^2=(4x^2y(3y^2-x^4))/(x^4+y^2)^2 $
$ fy(x,y)=(4x^3*(x^4+y^2)-4x^3y*2y)/(x^4+y^2)^2=(4x^3(x^4-3y^2))/(x^4+y^2)^2 $
Da qui in avanti non riesco a svolgere il sistema.
Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
La prima funzione non è definita in $(1,1,1)$
Nel secondo esercizio hai un sistema di due equazioni che devi porre uguali a zero. Sia la derivata rispetto a y che quela rispetto a x sono composte da prodotti tra termini, e un prodotto tra dei termini si annulla quando almeno uno dei termini del prodotto è nullo, quindi...
Nel secondo esercizio hai un sistema di due equazioni che devi porre uguali a zero. Sia la derivata rispetto a y che quela rispetto a x sono composte da prodotti tra termini, e un prodotto tra dei termini si annulla quando almeno uno dei termini del prodotto è nullo, quindi...
Ok che non sia definita in $ (1,1,1) $, ma temo di non aver capito concettualmente il perché. Ci provo.
Il gradiente di una funzione in $ x0 $ , che si denota come $ grad f(bar(x0)) $ , rappresenta il vettore delle derivate parziali prime calcolate in $ x0 $ della funzione $ f $ . Se le derivate parziali prime tendono a infinito, non può valere la condizione di derivabilità di una funzione tale per cui $ AA iin (1,2,...n):EE fx i(x0)in R $. Se una funzione non è derivabile, significa che in riferimento al punto $ (1,1,1) $ non esiste un intorno sferico tutto compreso in $ R $ di tale punto tale per cui esiste, finito, il $ lim h->0 (f(x0+h*ei)-f(x0))/h=fx(x0)in R $ .E se tale limite non esiste, la funzione non può essere definita in tale punto. Il ragionamento è corretto?
Sul secondo esercizio non ho proprio afferrato quello che vuoi intendere. Banalmente un prodotto, per annullarsi, deve avere almeno un fattore uguale a 0 ma non arrivo a capire il perché del tuo appunto...
Il gradiente di una funzione in $ x0 $ , che si denota come $ grad f(bar(x0)) $ , rappresenta il vettore delle derivate parziali prime calcolate in $ x0 $ della funzione $ f $ . Se le derivate parziali prime tendono a infinito, non può valere la condizione di derivabilità di una funzione tale per cui $ AA iin (1,2,...n):EE fx i(x0)in R $. Se una funzione non è derivabile, significa che in riferimento al punto $ (1,1,1) $ non esiste un intorno sferico tutto compreso in $ R $ di tale punto tale per cui esiste, finito, il $ lim h->0 (f(x0+h*ei)-f(x0))/h=fx(x0)in R $ .E se tale limite non esiste, la funzione non può essere definita in tale punto. Il ragionamento è corretto?
Sul secondo esercizio non ho proprio afferrato quello che vuoi intendere. Banalmente un prodotto, per annullarsi, deve avere almeno un fattore uguale a 0 ma non arrivo a capire il perché del tuo appunto...
No, la funzione non è definita in quel punto semplicemente perché in quel punto il denominatore si annulla.
Per quanto riguarda il secondo esercizio, devi rivederlo tutto. $x^4+y^2=0$ quali soluzioni ha?
Poi, andando alle derivate parziali:
$4x^2y(3y^2-x^4)=0$
$4x^3(3y^2-x^4)=0$
Per $3y^2-x^4=0$ si annullano entrambe le derivate parziali, quindi le derivate parziali si annullano in $(x,y)$ tali che $y^2=x^4/3$
Quindi, adesso si può dividere il tutto per $(3y^2-4x^2)$ e si ottiene:
$4x^2y=0$;
$4x^3=0$
La seconda si annulla solo in $x=0$, ma in $x=0$ si annulla anche la prima, quindi il gradiente si annulla in (x,y) tali che $x=0$
Per quanto riguarda il secondo esercizio, devi rivederlo tutto. $x^4+y^2=0$ quali soluzioni ha?
Poi, andando alle derivate parziali:
$4x^2y(3y^2-x^4)=0$
$4x^3(3y^2-x^4)=0$
Per $3y^2-x^4=0$ si annullano entrambe le derivate parziali, quindi le derivate parziali si annullano in $(x,y)$ tali che $y^2=x^4/3$
Quindi, adesso si può dividere il tutto per $(3y^2-4x^2)$ e si ottiene:
$4x^2y=0$;
$4x^3=0$
La seconda si annulla solo in $x=0$, ma in $x=0$ si annulla anche la prima, quindi il gradiente si annulla in (x,y) tali che $x=0$
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