Gradiente e derivata direzionale
Vi riporto un breve esercizio già svolto sugli appunti di cui nn ho capito lo svolgimento
una biglia si trova nel punto (0,0,1) su una superficie di equazione $z=e^-2x-2y$ in che direzione del pianox,y rotolerà la biglia?
va in direzione del gradiente ma verso opposto...
a questo punto si fa la derivata parziale rispetto a x e y per trovare il grdiente giusto?
quindi $\grad.f=(-2e^-2x-2y, -2e^-2x-2y)$ come fa a venire cosi' la derivata di $e$ intanto?
calcolato nel punto $(0,0) grad.f=(-2,-2)$ perchè?
conclude l'esercizio trovando $u$ che suppongo sia la derivata direzionale e come fa a venire $(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2)$
so che $Du=|\grad.f||u||cos\theta$
ma come fa a venirgli questo risultato?
una biglia si trova nel punto (0,0,1) su una superficie di equazione $z=e^-2x-2y$ in che direzione del pianox,y rotolerà la biglia?
va in direzione del gradiente ma verso opposto...
a questo punto si fa la derivata parziale rispetto a x e y per trovare il grdiente giusto?
quindi $\grad.f=(-2e^-2x-2y, -2e^-2x-2y)$ come fa a venire cosi' la derivata di $e$ intanto?
calcolato nel punto $(0,0) grad.f=(-2,-2)$ perchè?
conclude l'esercizio trovando $u$ che suppongo sia la derivata direzionale e come fa a venire $(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2)$
so che $Du=|\grad.f||u||cos\theta$
ma come fa a venirgli questo risultato?
Risposte
$z= e^(-2x-2y)$.
Appunto:
$gradf=( -2e^(-2x-2y), -2e^(-2x-2y)) =>$
$=> gradf(0,0) = (-2, -2)$.
Perchè "perchè"? la funzione$gradf(x,y)=( -2e^(-2x-2y), -2e^(-2x-2y))$ associa all'argomento $(0,0)$ il valore
$( -2e^(-2*0 -2*0), -2e^(-2*0-2*0)) = (-2, -2)$! no?
E così sul piano xy la biglia rotola da $(0,0)$ verso $(2,2)$. Ovvero...
da $(0,0)$ verso $(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$.
Appunto:
$gradf=( -2e^(-2x-2y), -2e^(-2x-2y)) =>$
$=> gradf(0,0) = (-2, -2)$.
Perchè "perchè"? la funzione$gradf(x,y)=( -2e^(-2x-2y), -2e^(-2x-2y))$ associa all'argomento $(0,0)$ il valore
$( -2e^(-2*0 -2*0), -2e^(-2*0-2*0)) = (-2, -2)$! no?
E così sul piano xy la biglia rotola da $(0,0)$ verso $(2,2)$. Ovvero...
da $(0,0)$ verso $(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$.
Il gradiente è un vettore costituito dalle derivate parziali della funzione $f(x,y)$ rispetto a x e y ovvero:
$\grad f(x,y)=((delf)/(delx),(delf)/(dely))=(e^(-2),-2)$
Quindi in alcun modo può trovarsi ciò che hai scritto (forse non hai scritto la funzione correttamente??). Tra l'altro si ottiene un gradiente costante su tutto $RR^2$.
Ti ricordo che $u$ non è la derivata direzionale ma la direzione lungo la quale vuoi calcolare tale derivata (è quindi un versore). La derivata direzionale è un prodotto scalare e quindi non può essere un vettore.
$\grad f(x,y)=((delf)/(delx),(delf)/(dely))=(e^(-2),-2)$
Quindi in alcun modo può trovarsi ciò che hai scritto (forse non hai scritto la funzione correttamente??). Tra l'altro si ottiene un gradiente costante su tutto $RR^2$.
Ti ricordo che $u$ non è la derivata direzionale ma la direzione lungo la quale vuoi calcolare tale derivata (è quindi un versore). La derivata direzionale è un prodotto scalare e quindi non può essere un vettore.
scusa ma come ottieni $sqrt(2)/2$???
"lalla23":
Vi riporto un breve esercizio già svolto sugli appunti di cui nn ho capito lo svolgimento
una biglia si trova nel punto (0,0,1) su una superficie di equazione $z=e^-2x-2y$ in che direzione del pianox,y rotolerà la biglia?
va in direzione del gradiente ma verso opposto...
a questo punto si fa la derivata parziale rispetto a x e y per trovare il grdiente giusto?
quindi $\grad.f=(-2e^-2x-2y, -2e^-2x-2y)$ come fa a venire cosi' la derivata di $e$ intanto?
calcolato nel punto $(0,0) grad.f=(-2,-2)$ perchè?
conclude l'esercizio trovando $u$ che suppongo sia la derivata direzionale e come fa a venire $(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2)$
so che $Du=|\grad.f||u||cos\theta$
ma come fa a venirgli questo risultato?
il risultato $(-2,-2)$ è corretto perchè $\grad.f=(-2e^(-2x-2y), -2e^(-2x-2y))$ in $(0,0)$ da come risultato $\grad.f=(-2e^0, -2e^0)$ dove come saprai $e^0=1$......
.........la derivata direzionale sarà $-2sqrt(2)/2-2sqrt(2)/2=-2sqrt(2)$ come dice guistamente "K.Lomax" la derivata direzionale è uno scalare non un vettore.
Ciao
"orazioster":
$z= e^(-2x-2y)$.
Appunto, considerando il risultato, io ho
pensato che la funzione che lalla23 intendesse fosse quella.
$(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$ è la coppia di valori dei coseni degli angoli
tra il vettore $(2,2)$ e gli assi X ed Y.
"Alexp":
.........la derivata direzionale sarà $-2sqrt(2)/2-2sqrt(2)/2=-2sqrt(2)$ come dice guistamente "K.Lomax" la derivata direzionale è uno scalare non un vettore.
Ciao
ok grazie a tutti ci sono più o meno, ma scusa perchè sommi le coordinate della derivata direzionale? non dovrebbe rimanere $Du=(-sqrt(2),-sqrt(2))$?
chiamiamo $f_x$ la derivata parziale in $x$ e $f_y$ la derivata parziale in $y$ e $\alpha$ la direzione lungo cui calcolare la derivata....
la derivata direzionale (solo nei casi in cui la funzione è differenziabile ed in questo caso lo è) sarà:
$f_xcos\alpha+f_ysen\alpha$
nel tuo caso hai $f_x=-2$, $f_y=-2$ e $\alpha=45^\circ$
dunque la derivata direzionale sarà:
$-2cos(45^\circ)-2sen(45^\circ)=-2sqrt(2)/2-2sqrt(2)/2=-sqrt(2)-sqrt(2)=-2sqrt(2)$
quello che scrivi tu, ossia $(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$ non è la derivata direzionale, ma è la direzione lungo cui calcolare la derivata, ossia la direzione lungo cui punta il gradiente!!!!
Spero di essere stato chiaro, ciao.
la derivata direzionale (solo nei casi in cui la funzione è differenziabile ed in questo caso lo è) sarà:
$f_xcos\alpha+f_ysen\alpha$
nel tuo caso hai $f_x=-2$, $f_y=-2$ e $\alpha=45^\circ$
dunque la derivata direzionale sarà:
$-2cos(45^\circ)-2sen(45^\circ)=-2sqrt(2)/2-2sqrt(2)/2=-sqrt(2)-sqrt(2)=-2sqrt(2)$
quello che scrivi tu, ossia $(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)$ non è la derivata direzionale, ma è la direzione lungo cui calcolare la derivata, ossia la direzione lungo cui punta il gradiente!!!!
Spero di essere stato chiaro, ciao.
Ok ho capito! Grazie! 
"K.Lomax":
Il gradiente è un vettore costituito dalle derivate parziali della funzione $f(x,y)$ rispetto a x e y ovvero:
$\grad f(x,y)=((delf)/(delx),(delf)/(dely))=(e^(-2),-2)$
Quindi in alcun modo può trovarsi ciò che hai scritto (forse non hai scritto la funzione correttamente??). Tra l'altro si ottiene un gradiente costante su tutto $RR^2$.
Ti ricordo che $u$ non è la derivata direzionale ma la direzione lungo la quale vuoi calcolare tale derivata (è quindi un versore). La derivata direzionale è un prodotto scalare e quindi non può essere un vettore.
scusa K.Lomax cmq la derivata direzionale è un prodotto scalare si ma poi le componenti risultano $f_xu_1+f_yu_2=Grad.f *u$ quindi il gradiente è un vettore giusto???allora non è proprio giusto dire che la derivata direzionale è solo uno scalare...o no? è un prodotto scalare col gradiente quindi uno scalare per un vettore da un vettore! giusto?
Il risultato di un prodotto scalare secondo te è uno scalare o un vettore?
Per "lalla23"
Ciao,
il prodotto scalare tra gradiente (che è un vettore) ed il vettore composto dai coseni direttori, da come risultato uno scalare...è un normalissimo prodotto scalare tra due vettori, non vedo cosa non ti sia chiaro.
Ciao,
il prodotto scalare tra gradiente (che è un vettore) ed il vettore composto dai coseni direttori, da come risultato uno scalare...è un normalissimo prodotto scalare tra due vettori, non vedo cosa non ti sia chiaro.
Scusate continuavo a confondermi, il gradiente è un vettore e ok, mi confondevo col vettore direzione, che è appunto un vettore non uno scalare!!! e il risultato, la derivata direzionale è uno scalare. ok. Lo so tra due vettori il prodotto scalare dà uno scalare!grazie per la pazienza!
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