Gradiente e curve di livello (dubbio teoria)
Non ho ben compreso un passaggio che è stato fatto in aula, volevo gentilmente chiedereil vostro aiuto.
In sostanza si voleva mostrare che: $\nabla f(x_0,y_0)$ punta verso le curve di livello più alto
Con $g:R->R^n$
e $f:R^n->R$
La professoressa dice:
si abbia una curva regolare $g:I->R^2$, essendo $g(t_0)=(x_0,y_0)$ e $g(I)$ contenuto nelle curve di livello.
Quindi: f(g(t))=c con c la costante per cui vale che se $f(x,y)=c$ allora $(x,y)\in domf$
Derivando $(d(f(g(t))))/dt=d(c)/dt$ con c costante che uso per trovare le curve di livello essendo essa costante anche $d(f(g(t)))$ sarà costante, e quindi essendo:$(d(f(g(t))))/dt=\nabla f(g(t))*g'(t)=0$ ed essendo g'(t) tangente al sostegno allora il gradiente sarà ad essa ortogonale.
Ma non riesco a capire il passaggio in cui deriva c come costante, voglio dire: mettiamo di avere y=x^2 nel punto x=2 si ha y=4, ora se voglio far la derivata nel punto x=2 non posso definire derivata di 2 che sarebbe 0 = y(x)' perché non è vero. Ma in realtà mi sembra proprio quel che ha fatto in quel passaggio perché f(x,y)=c e c è una "funzione" che varia esattamente come $x^2$ nel mio esempio.
Spero di esser stato quantomeno comprensibile e grazie mille.
In sostanza si voleva mostrare che: $\nabla f(x_0,y_0)$ punta verso le curve di livello più alto
Con $g:R->R^n$
e $f:R^n->R$
La professoressa dice:
si abbia una curva regolare $g:I->R^2$, essendo $g(t_0)=(x_0,y_0)$ e $g(I)$ contenuto nelle curve di livello.
Quindi: f(g(t))=c con c la costante per cui vale che se $f(x,y)=c$ allora $(x,y)\in domf$
Derivando $(d(f(g(t))))/dt=d(c)/dt$ con c costante che uso per trovare le curve di livello essendo essa costante anche $d(f(g(t)))$ sarà costante, e quindi essendo:$(d(f(g(t))))/dt=\nabla f(g(t))*g'(t)=0$ ed essendo g'(t) tangente al sostegno allora il gradiente sarà ad essa ortogonale.
Ma non riesco a capire il passaggio in cui deriva c come costante, voglio dire: mettiamo di avere y=x^2 nel punto x=2 si ha y=4, ora se voglio far la derivata nel punto x=2 non posso definire derivata di 2 che sarebbe 0 = y(x)' perché non è vero. Ma in realtà mi sembra proprio quel che ha fatto in quel passaggio perché f(x,y)=c e c è una "funzione" che varia esattamente come $x^2$ nel mio esempio.
Spero di esser stato quantomeno comprensibile e grazie mille.
Risposte
Prendi come esempio $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ definita come $f(x,y)=x^2+y^2$ e $g:(0,2\pi)\to \mathbb{R}^2$ definita come $g(t)=(\cos t, \sin t)$. Allora la funzione $h:(0,2\pi)\to \mathbb{R}$ definita come $h=f\circ g$, ovvero
\[
h(t)=f\big(g(t)\big)=\cos^2 t + \sin^2 t
\]
è costante per ogni $t\in (0,2\pi)$, perché vale $1$ qualunque sia $t$, e non solo per un punto $t_0$ in particolare.
Questo perché su tutto il sostegno della curva $g$, la funzione $f$ assume sempre lo stesso valore, cioè $1$
\[
h(t)=f\big(g(t)\big)=\cos^2 t + \sin^2 t
\]
è costante per ogni $t\in (0,2\pi)$, perché vale $1$ qualunque sia $t$, e non solo per un punto $t_0$ in particolare.
Questo perché su tutto il sostegno della curva $g$, la funzione $f$ assume sempre lo stesso valore, cioè $1$
Grazie per l'esempio, ora mi sono chiarito 
Due osservazioni rispetto al post originario:
- si parla di gradiente che "punta verso le curve di livello più alto". La strada seguita NON permette minimamente di provare che il verso del gradiente sia diretto verso le curve "di livello più alto". Basta notare che, se lo si applica a $-f$...
- non sarebbe male (ma qui probabilmente è solo un aspetto di sintesi nello scrivere il post) precisare sotto quali ipotesi si pensa di ottenere quel risultato
- si parla di gradiente che "punta verso le curve di livello più alto". La strada seguita NON permette minimamente di provare che il verso del gradiente sia diretto verso le curve "di livello più alto". Basta notare che, se lo si applica a $-f$...
- non sarebbe male (ma qui probabilmente è solo un aspetto di sintesi nello scrivere il post) precisare sotto quali ipotesi si pensa di ottenere quel risultato
Grazie per l'ulteriore precisazione, mi fa molot piacere che mi si aiuti a ragionare
- Più che altro aveva in precedenza provato che il gradiente indicava la massima crescita, e qui prova l'ortogonalità. Forse la professoressa intendeva dire che mettendo assieme le due cose ortogonalità qui vista+massima crescita->punta alle "curve di livello più alto"?
- E' vero, diciamo che ho stringato per non appesantire troppo la scrittura scomoda sul PC, ma sono state ben specificate nello studio in classe.
Buona serata
- Più che altro aveva in precedenza provato che il gradiente indicava la massima crescita, e qui prova l'ortogonalità. Forse la professoressa intendeva dire che mettendo assieme le due cose ortogonalità qui vista+massima crescita->punta alle "curve di livello più alto"?
- E' vero, diciamo che ho stringato per non appesantire troppo la scrittura scomoda sul PC, ma sono state ben specificate nello studio in classe.
Buona serata
Ok se l'aveva già dimostrato che punta verso la massima crescita
Grazie
Sempre gentili e chiarissimi!
Sempre gentili e chiarissimi!
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